Punkt an Ebene spiegeln?

Question

Der Punkt P (-3/0/2) soll an der Ebene E: 2x+y-z=4 gespiegelt werden und die Koordinaten dieses Punktes sind gesucht! Danke für die Hilfe...

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Probiere es mal mit folgender Vorgehensweise:

1. Suche den Vektor, welcher senkrecht auf der Ebene steht und auf dem P liegt

2. Bestimme das Skalar des Einheitsrichtungsvektors abhängig vom Fußpunkt F

3. negiere das skalar und berechne P'

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Senkrecht zur Ebene steht n=(2/1/-1) und nun?

Answer 1

Hallo Fedel,

bestimme die Gleichung der Geraden g durch P mit dem Normalenvektor von E als Richtungsvektor. g steht senkrecht zu E.

Berechne den Schnittpunkt L (Lotfußpunkt) von g mit E

 

Dann gilt:  

\(\overrightarrow{OP'}\) = \(\overrightarrow{OL}\) + \(\overrightarrow{PL}\)

Punkt P' hat die Koordinaten von \(\overrightarrow{OP'}\)

Gruß Wolfgang

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Die Gerade g:x=(-3\0\2)+r(2\1\-1) habe ich und wie weiter?

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Berechne den Schnittpunkt L (Lotfußpunkt) von g mit E

setze die Koordinaten x = -3 +2r , y = - r  und z = 2 - r in die Gleichung von E ein und berechne r.

Setze r in g ein und erhalte den Ortsvektor von L ( = \(\overrightarrow{OL}\) )

Answer 2

Ich sags noch mal anders

Die Normalenform der Ebene E: n (x,y,z)-4=0 mit n als Normalenvektor gibt via Hesseche Normalform den Abstand des Punktes zur Ebene an  d=(n P-4)/sqrt(n^2) den wir an P 2 mal Richung Ebene abtragen

\(P'=P - 2 \cdot \frac{P \; n - 4}{n^{2}} \; n\)

\(P' \, :=  \,  \left(5, 4, -2 \right)\)

oder