Untervektorraum ein Teil des gegebene Vektorraums?

Question

Folgendes ist gegeben:

$$\{ ({a}_n)_{n\in\mathbb{N}}| |\lim_{n\to\infty} {a}_n| < \infty\} $$ im Raum der Folgen mit definiertem $$\lim_{n\to\infty}$$

Überprüfen soll ich, ob die Menge ein Untervektorraum des übergeordneten Vektors ist. Ich weiß wie dies funktioniert, wenn mir Vektoren gegeben sind. Jetzt stehe ich aber auf dem Schlauch, wie ich hier vorzugehen habe.

Ich weiß auch nicht wie ich das übliche Vorgehen (Nullvektor, Addition, Multiplikation mit einer beliebigen Zahl) darauf anwenden kann. 

Answer 1

Ich weiß auch nicht wie ich das übliche Vorgehen

(Nullvektor, Addition, Multiplikation mit einer beliebigen Zahl) darauf anwenden kann. 

Nullvektor ist die konstante Folge, bei der alle Folgenglieder 0 sind.

Addition von Folgen:

Sind (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ  zwei Folgen, dann ist die 

Summe die Folge (c_n)_n∈ℕ bei der für alle n∈ℕ gilt 

c_n = a_n + b_n   . Entsprechend bei  x*(an)n∈ℕ ist 

es die mit c_n = x*a_n .

Answer 2

Verwende Grenzwertsätze um zu zeigen:

1. Ist (a_n)_n∈ℕ eine konvergente Folge, dann ist (c·a_n)_n∈ℕ für jedes c eine konvergente Folge.
   
2. Sind (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ konvergente Folgen, dann ist (a_n+b_n)_n∈ℕ eine konvergente Folge.
   

Außerdem solltest du noch zeigen, dass die Menge der konvergenten Folgen nicht leer ist.

> Ich weiß wie dies funktioniert, wenn mir Vektoren gegeben sind.

Aber es sind ja Vektoren gegeben. Nämlich die Folgen. Weil die Folgen einen Vektorraum bilden sind Folgen Vektoren.