Gruppentafel ausfüllen mit G_dreieck (6 Kompositionen: i, r, s, x, y, z)

Question

ein Dreieck hat 3 Ecken = 3! Möglichkeiten, die Ecken zu tauschen: 

- 3x Vertauschen gegen Uhrzeigersinn.

- 1x vertikal spiegeln; 2x diagonal spiegeln

Ausgegangen wird von diesem Dreieck:

Im Ergebnis hätte ich dann:

	i
A	B	C
A	B	C

120° geg. Uhrzeigersinn gedreht:

	r
A	B	C
B	C	A

240° geg. Uhrzeigersinn gedreht:

	s
A	B	C
C	A	B

Vertikal gespiegelt:

	x
A	B	C
C	B	A

Diagonal C / B gespiegelt:

	y
A	B	C
A	C	B

Diagonal C / A gespiegelt:

	z
A	B	C
C	B	A

Ich verstehe nicht, wie die Verknüpfung dieser Varianten zu solch einer Gruppentafel führt:

(das neutrale Element ist hier offensichtlich das i)

Answer 1

Überlege dir, wie die Hintereinander-Ausfürung zweier Abbildungen (z.B. r°x) durch eine Abbildung ersetzt werden kann (hier z).

Comments

Ich glaub ich hab's raus... und das tragische ist... ich hatte es in der Vergangenheit schon einmal verstanden, aber wieder vergessen. :-/

r ° x = z, und zwar weil: i 1x gedreht = r --> r 1x vertikal gespiegelt (x) = z 

Danke für den gedanklichen Schubser Roland. 

Ich hatte einen gravierenden Denkfehler gemacht: 

Ich dachte, es müsse der Buchstabe an Stelle A gesetzt werden, der A beim Drehen ersetzt, also C. Dass der nächste Buchstabe nach A betrachtet wird, also B, ändert natürlich alles. 

Nochmal eine etwas elaboriertere Erklärung meines Fehlers: 
(vielleicht hilft es anderen)

Ausgehend vom Dreieck i habe ich in Gedanken meine Permutationstabelle falsch geschrieben. Ich habe für r z.B. nicht den Weg für A zur nächsten Position B in die Tabelle geschrieben, so dass A B C ==> B C A, sondern stattdessen den Buchstaben, der nach dem Drehen an Stelle A stehen würde, als Nachfolger für A notiert, so dass A B C ==> C A B, was in diesem Zusammenhang natürlich falsch ist.