Betragsbeweis (Formulierung gefragt?). Zu zeigen: (∀ε > 0 : |a-b| < ε ) ⇒ a = b.

Question

Liebe Damen und Herren,

aktuell häng ich im Analysis-Teil fest.

"Seien a, b, ε ∈ ℝ. Beweisen Sie folgende Aussage:
∀ε > 0 : |a-b| < ε    ⇒ a  =  b".

Mir fällt es schwer Sachinhalte zu beweisen und zu verstehen woher ich da die Lösungsmenge beziehe. Selbst bei Aufstellung der Lösungsmenge auf dem Zahlenstrahl versteh ich nicht, wie ich so etwas beweisen kann und soll.

Hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen,

Vg

owntYA

Comments

So wie sie da steht ist die Aussage sicher falsch.
Gegenbeispiel:

ε = 10 , a = 12, b = 5

| 12 - 5 | = 7 < 10 = ε , aber a ≠ b

---

Die Ungleichung soll für alle  ε > 0  gelten, nicht nur für ausgewählte.

---

Vielleicht hättest du Klammern setzen sollen, denn ich habe die Aussage so aufgefasst:

∀ε > 0 : ( |a-b| < ε   ⇒ a  =  b )

In Worten: Für alle ε > 0 gilt: Aus | a - b | < ε folgt a = b .

und das ist sicher falsch (siehe mein Gegenbeispiel).

Tatsächlich aber war die Aussage wohl so gemeint:

( ∀ε > 0 : |a-b| < ε )   ⇒ a  =  b".

In Worten: Wenn für alle ε > 0 gilt : | a - b | < ε dann folgt daraus, dass a = b ist.

Und das ist wohl wahr.

Edit: Gerade stelle ich fest, dass in der Überschrift deiner Frage die Klammern vorhanden sind ... das hatte ich nicht gesehen.

Answer 1

Voraussetzung: ∀ε > 0 : |a-b| < ε   

Behauptung: a=b

Indirekter Beweis:

Annahme a≠b 

so gilt b = a+c, wobei c ≠ 0

Sei nun ε = |c|/2.

So gilt |a-b| = |c| > |c|/2 = ε

Also |a-b| > ε, was der Voraussetzung widerspricht.

qed.

a=b

Comments

Wo genau ist der Widerspruch zur Voraussetzung?

---

Was rot markiert ist widerspricht der Voraussetzung.

'<' ist nicht '>'.

---

|a - b| < ε  ist kein Widerspruch sondern Voraussetzung.

---

Lu hat gesagt

|a - b| = |c|

wenn jetzt ε = |c|/2 definiert wird gilt

|c| > |c|/2
|a - b| > ε

Das widerspricht aber der Annahme. Von daher darf |a - b| nicht größer Null sein und damit darf b nicht ungleich a sein. Folglich muss a = b gelten.

---

@Mathecoach. Danke. Das < wurde inzwischen gedreht.

Answer 2

∀ε > 0; |a-b| < ε

Wir können ja mal festlegen Das bei zwei verschiedenen Zahlen a die größere sein soll. Dann gilt

a - b < ε
a < b + ε

mit dem Grenzwert von ε gegen 0 würde das bedeuten a ist kleiner als eine zahl b. Das ist ein Widerspruch. Also dürfen die Zahlen nicht verschieden sein mit a als größere Zahl.

Daraus folgt das beide Zahlen a und b gleich sein müssen.

a - a < ε
0 < ε

Das ist erlaubt und gibt keinen Widerspruch.

Comments

Ich bin da wie folgt rangegangen:

 

Zunächst habe ich den betragsterm |a-b| im ersten Schritt als größer Null definiert:

1 Fall: a - b > 0
           a > b

 

sowie

 

a-b < ε

a < ε + b             Lösungsmenge { a ∈ ℝ |   b < a < ε + b}

 

2. Fall:   a-b < 0                             -(a-b) < ε                        
              a < b          

 

sowie

 

-(a-b) < ε
-a+b < ε
  b < ε + a              Lösungsmenge { a ∈ ℝ |  a-ε < a < b}

 

L = L1 U L2 = ] a-ε ; ε + b [

 

Ich bedenke ebenfalls, dies sei falsch. Bloss vielleicht erkennt wer mein Problem und kann mich eines besseren belehren, da ich oben genannten Lösuungsweg nicht nachvollziehen kann.

Vg!
 

---

Du hast die Lösungsmenge Lösungsmenge { a ∈ ℝ |   b < a < ε + b}

also 

a > b ist klar und 

a < ε + b wenn ε gegen null geht steht dort als grenzwert a < b

a kann aber nicht gleichzeitig größer b und kleiner b sein.

---

Es ist aber günstiger wie Lu vorzugehen.

Das man die Differenz aus a und b als c definiert und zeigt das es für ε = |c|/2 die Bedingung nicht erfüllt ist.

---

Aber wie kommt man denn auf ε = |c|/2?

 

Stell mir gerade vor solch eine Aufgabe erhalte ich in einer Klausur, welches Indiz lässt mich darauf kommen?

Und zu deiner Aussage das "a>b" ist und dies klar sei kann ich nicht nachvollziehen, da behauptet wird das a=b sei? :o)

Lg!

---

Es geht doch nach deiner Annahme

1 Fall: 
a - b > 0
a > b

---

Nach meiner Rechnung. Aber, die von dir geschrieben Rechnung würde ja somit nicht mehr auf a = b (siehe Aufgabenstellung) eingehen, sondern nach meiner "verkehrten Berechnung".

Kann auch sein dass ich gerade einiges missverstehe. Kann bis dato hier noch keinen roten Pfaden für mich entdecken.

( ∀ε > 0 : |a-b| < ε )   ⇒ a  =  b".

Für mich bedeutet dass, das alle Zahlen von Epsilon größer als 0 seien müssen (sprich 1, 2, 3, 4... ∞), sowie das die Subtraktion des Betrages aus a - b kleiner als eine der Zahlen Epsilons seien, woraus ich entnehme, a-b ist x beliebige Zahl 0+ n-->∞ aus ℝ.

Zusatzergänzung ist, dass diese Zahl a identisch groß ist wie b.

Nun ist meine herangehensweise um es zu beweisen, den Betrag | a- b| als größer und kleiner 0 zu setzen, und aus diesen Fällen ... WAS zu überprüfen, da es ja so oder so nicht kleiner 0 seien darf, wenn die Bedingung laute "∀ε > 0 : |a-b| < ε"

Ab diesem Punkt brauch ich Hilfe um zu begreifen, wie es weiter geht.

Vg.

owntYA

---

Ziel ist ja der Beweis durch Widerspruch.
Du nimmst also ein a und ein b an, die verschieden sind. Wenn daraus jetzt etwas folgt was nicht sein kann, muss die Annahme falsch sein. Damit müssen a und b dann gleich sein.

---

Waere wer in der Lage, lediglich die gesamte Rechnung zusammen zu fassen mit Lösungsmenge, und bei der Rechnung die falschen Aussagen hervorzuheben. Ich habe das Gefühl, das mir die Logik fremd ist wie in dieser Aufgabe vorzugehen ist.


Vg