Zwei ähnliche Dreiecke: Verhältnis AD:BE und Winkel ∠AFB

Question

In der Abbildung sind ABC und ECD zwei ähnliche Dreiecke und die Punkte BCD auf einer Geraden. 

a) Bestimme das Verhältnis AD : BE.

b) Bestimme den Winkel ∠AFB.

 

Comments

Ich glaube wenn das zwei beliebige Ähnliche Dreiecke sind dann geht das nicht. Ich habe das eben mal probiert. Kann es sein das die Dreiecke noch gleichseitig sind oder eine andere Bedingung erfüllen, die in der Aufgabe nicht steht?

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Ich glaube, in der Aufgabenstellung hieß es, dass sie auch gleichseitig sind!

Answer 1

Hi

Ich geh mal davon aus, dass die Dreiecke ähnlich und gleichseitig sind:

a) Bestimme das Verhältnis AD : BE.

h_a= a/2*sqrt(3); //Pythagoras
h_b= b/2*sqrt(3);

e² = (a+b/2) +h_b; //Pythagoras, \(e = \overline{BE} \)
e = sqrt(a² +ab +b²);

f² = (b+a/2) +h_a; //Pythagoras, \(f = \overline{AD} \)
f = sqrt(a² +ab +b²);

f/e = 1;

 

b) Bestimme den Winkel ∠AFB.

tan(α) = h_b / (a+b/2);
α = arctan{  b*sqrt(3) / (2a +b)  };

tan(β) = h_a / (b+a/2);
β = arctan{ a*sqrt(3) / (2b +a) };

γ = 180° -α -β;

δ = α +β = arctan{  b*sqrt(3) / (2a +b)  } + arctan{ a*sqrt(3) / (2b +a) };

 

Vielleicht gibt es für die b) noch eine elegantere Lösung. Die hab ich aber bisher nicht entdeckt. Jedenfalls kannst Du mit der Formel für δ (fett geschrieben) den Winkel in Abhängigkeit der Seitenlängen der beiden ähnlichen, gleichseitigen Dreiecke bestimmen.

 

lg JR