Aufstellen der Funktionsgleichung einer Parabel, die f(x)=0.5e^{0.5x} + 1 senkrecht schneidet?

Question

Aufstellen der Funktionsgleichung einer Parabel, die f(x)=0.5e^{0.5x} + 1 auf der y-Achse senkrecht schneidet?

Lassen sich a, b und c so bestimmen, dass sich die zugehörigen Schaubilder auf der y-Achse berühren?

Aufgabe - Gegeben sind die Funktionen f mit \(f(x) = 0,5 e^{0,5x}+1 \quad\)und g mit \(g(x) =ax^{2}+bx+c;\quad x\in\mathbb{R}: a\ne 0. \)

Bestimmen Sie a, b und c so, dass sich die zugehörigen Schaubilder auf der y-Achse senkrecht schneiden.

Lassen sich a, b und c so bestimmen, dass sich die zugehörigen Schaubilder auf der y-Achse berühren? Begründen Sie.

Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen! Ich komme nicht auf die Bedingung für die Gleichung g(x)

Außer das es f(x)*g(x)= -1, da sie senkrecht zueinander sein müssen! Aber wie komme ich auf die Koeffizienten a, b und c ?

Comments

" f(x)*g(x)= -1 "

Achtung das gilt für die Steigungen nicht für die Funktionen.

Daher:

 f ' (x)*g ' (x)= -1

Nun kannst du ja f '(0) berechnen und kennst daher g '(0).

Ausserdem muss f(0) = g(0) sein. So kannst du schon mal c berechnen.

Answer 1

Hi

Zunächst einmal weißt Du, dass sich beide Graphen auf der y-Achse schneiden. Also bestimmst Du zunächst den Schnittpunkt von f(x) mit der y-Achse; g(x) verläuft auch durch diesen Punkt.

f(x) = 0,5*e^{0,5x} +1;
f(x=0) = 1,5;

SP(0|1,5);

Den Schnittpunkt setzt Du nun in g(x) ein.

g(x) = ax^2 +bx +c;
g(x=0) = 1,5 = c;

Dann kommt Deine Bedingung, allerdings musst Du darauf achten, dass Du die Ableitungen verwendest:

f'(x)*g'(x)= -1; //gilt nur an der Stelle x=0;

f'(x) = 0,25*e^{0,5x};
g'(x) = 2ax +b;

f'(x=0)*g'(x=0) = -1;
0,25*b = -1;
b = -4;

Wie man nun sieht hängt die Steigung im Punkt x=0 nicht von a ab. a kann also beliebig gewählt werden (außer a=0). Damit erhältst Du als Lösung eine Kurvenschar:

g(x) = ax^2 -4x +1,5;  mit a∈ℝ\{0}

Hier mal eine Skizze für a∈{-4; -2; 2; 4} (0 ist auch dabei, konnte ich leider nicht ändern).

 

Der zweite Teil ist beinahe gleich. Nun gilt nicht mehr g'(x)*f'(x) = -1, sondern g'(x) = f'(x). g und f besitzen damit im Punkt SP(0|1,5) die gleiche Steigung. Der Rest der Parameter bleibt gleich. g sieht damit wie folgt aus:

g(x) = ax^2 +0,25x +1,5; für a die gleichen Bedingungen wie oben.

 

Bei Fragen, Fehlern oder Anmerkungen --> Kommentar.

lg JR

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Super genauer Lösungsweg! Vielen Dank

Answer 2

Wenn sich die Funktionsgraphen auf der y-Achse schneiden, dann hat der Schnittpunkt die x-Koordinate Null. Es sind also die Funktion an der Stelle x = 0 zu betrachten. Die Bedingungen sind daher:

f ( 0 ) = g ( 0 ) und f ' ( 0 ) * g ' ( 0 ) = - 1

Die erste Bedingung stellt sicher, dass beide Funktionen an der Stelle x = 0 (also auf der y-Achse) den gleichen Funktionswert haben, sich also an dieser Stelle schneiden oder berühren. Die zweite Bedingung stellt sicher, dass sie sich dort senkrecht schneiden. 

 

f ( 0 ) = g ( 0 ) <=> 0,5 * e ^{0,5 * 0} + 1 = a * 0 ² + b * 0 + c <=> 1,5 = c

f ' ( 0 ) * g ' ( 0 ) = - 1 <=> 0,25 * b = - 1 <=> b = - 4

 

Der Parameter a kann beliebig gewählt werden, weil die Steigung der Funktion g ( x ) an der Stelle 0 nicht von a sondern nur von b abhängt. Denn g ' ( 0 ) = b.

Das bedeutet: Alle Funktionen der Form a x ² - 4 x + 1,5 verlaufen durch den Punkt ( 0 | 1,5 ) und schneiden dort die Funktion f ( x ) im rechten Winkel.

Wenn sich die Funktionen nicht schneiden sondern berühren sollen, dann muss statt der obigen zweiten Bedingung die Bedingung

f ' ( 0 ) = g ' ( 0 )

gelten, also:

0,25 = b

Der Parameter a ist mit gleicher Begründung wie oben wieder beliebig wählbar.

 

Hier ein Schaubild mit den Graphen f ( x ) , g ( x ) und der Funktion h ( x ) = - 3 x ² + 0,25 x+1,5.

Dass sich f ( x ) und g ( x ) scheinbar nicht senkrecht schneiden liegt an der nicht identischen Skalierung der x- und der y-Achse bei WolframAlpha (ein Problem, da ich leider immer noch nicht zufriedenstellend lösen konnte). Wenigstens sieht man aber, dass sich die Graphen der Funktion f ( x ) und h ( x ) auf der y-Achse berühren.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=.5e%5E%28.5x%29%2B1+%2C+2x%C2%B2-4x%2B1.5+%2C+-3x%C2%B2%2B0.25x%2B1.5+from-.5to.5+

Wenn du magst, kannst du ja ein wenig an den vonmir willkürlich gesetzten Parametern a der Funktionen "herumspielen" ...

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Vielen Dank auch für dein Lösungsweg!