Wertebereich mit Parameter

Question

zur Vorbereitung auf die Ing-Ma Klausur habe ich 2 Aufgaben zum Wertebereich einer Funktion bekommen, die von den "normalen" Aufgaben abweichen. Sie enthalten einen Parameter a. Leider stehe ich hier total auf dem Schlauch und habe keine Idee, was ich da machen soll :-/

Es wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte. Gerne auch mit Rechenweg, damit ich das besser nachvollziehen kann :-)

die Aufgaben lauten.

1)
Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion f:(−1.∞)→ℝ

mit f(x)=e^{ax^2+2x+1}, a<0

in Abhängigkeit von a


und
2)

Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion f:(−a,∞)→ℝ

mit f(x)=x+ax2+1

in Abhängigkeit von a € ℝ

Die Klausur steht vor der Tür und ich bin sehr nervös, da der Prof bekannt für solche Arten der Aufgaben ist. Ich hoffe es kann mir jemand helfen, ich habe nämlich keine Idee, was ich da machen soll

Gruß
Prog

Answer 1

mit f(x)=e^{ax^2+2x+1}, a<0

^. Das Maximum wird für x=-1/a erreicht. Hier ist der Wert e^-1/a+1. Alle Werte sind größer als 0. Wertebereich [0,e^-1/a+1].

Comments

Wow, vielen Dank für die schnelle Antwort.

Kannst du mir vielleicht noch den Rechenweg verraten? Solche Wertebereiche fallen mir extrem schwer. Ich weiß, dass es die y Komponente einer Funktion ist, also welche Werte y in der Funktion annehmen kann. "Normale", einfache Wertebereiche kann ich auch errechen (von Parabeln, etc.). Aber hier hört mein Verständnis auf :-/ und leider werde ich das für die Klausur brauchen

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Ich weiß nicht, ob du einen graphikfähigen Taschenrechner zur Lösung benutzen darfst.  In jedem Falle musst du dir zunächst eine Überblick über den Verlauf des Graphen verschaffen, notfalls mit einer kleinen Wertetabelle sowie mit der Bestimmung von Extrema. Extrema können Grenzen des Wertebereichs nennen, müssen es aber nicht. Funktionen der Art f(x)=e^g(x) haben nie negative Werte. Polynomfunktionen gerader Ordnung naben nie ganz ℝ als Wertebereich. Und weitere Grundmerkmale von Funktionstypen muss man einfach wissen.

Answer 2

Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion f:(−a,∞)→ℝ

mit f(x)=x+ax2+1

in Abhängigkeit von a € ℝ

Ich nehme an es soll
f ( x ) = x + ax^2 + 1
heißen

f ( -a ) = -a + a*(-a)^2 + 1
f ( -a ) = -a + a ^3 + 1
Fallunterscheidung
a = -∞
-(-∞) + (-∞) ^3 + 1 = - ∞
ausführlich
 (-∞) * ( -1 +  (-∞) ^2 + 1
 (-∞) * ( -1 +  (-∞) ^2 + 1
 (-∞) *  (-∞) ^2 
 (-∞) *  ∞ ^2   ( minus mal plus = minus )
-∞

Fallunterscheidung
a = +∞
-(∞) + (∞) ^3 + 1 = - ∞
ausführlich
(∞) * ( -1 +  (∞) ^2 + 1
(∞) * ( -1 +  (∞) ^2 + 1
(∞) *  (∞) ^2
(∞) *  ∞ ^2 
+∞

W = ] -∞; +∞ [
W = ℝ

Comments

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Answer 3

zu b)

bring die Parabel erstmal in Scheitelpunktform (erstmal a≠0)

f(x)=ax^2+x+1

=a[x^2+x/a +1/a]

=a[(x+1/(2a))^2 +1/a -1/(4a^2)]

=a(x+1/(2a))^2 +1 -1/(4a)

Kannst du nun den Wertebereich für die beiden Fälle a>0 und a<0 ablesen? Beachte, dass x € (-a,∞)

Der Fall a=0 ist gesondert zu betrachten und führt zu f(x)=x+1, der Wertebereich sollte hier klar sein ;)