Kreise in der Koordinatengeometrie

Question

Ich bin dabei folgende Aufgabe zu bearbeiten:

Wie muss a gewählt , damit der Punkt A auf dem Kreis K um den Mittelpunkt M mit dem Radius r liegt?

M (-1 | 5), r = 5, A (2 | a)

Ich habe zunächst die Kreisgleichung in Form einer Koordinatengleichung aufgestellt:

(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 25

Danach habe ich den Punkt A in die Gleichung eingesetzt und nach y aufgelöst:

(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 25

3^2 + (y - 5)^2 = 25

9 + y^2 + 25 = 25

y^2 + 34 = 25 | - 34

y^2 = -9 | √

√y = √-9 

Bei der letzten Zeile stoße ich jedoch auf ein Problem, denn es ist nicht möglich eine Wurzel aus einer negativen Zahl zu ziehen.

Was habe ich falsch gemacht?

MfG

Answer 1

Du hast vor allem einen unnötigen Umweg eingeschlagen. 

Wie muss a gewählt , damit der Punkt A auf dem Kreis K um den Mittelpunkt M mit dem Radius r liegt?

M (-1 | 5), r = 5, A (2 | a)

Ich habe zunächst die Kreisgleichung in Form einer Koordinatengleichung aufgestellt:

(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 25

Gut so. Nun den Punkt A einsetzen.

(2 + 1)^2 + (a - 5)^2 = 25

Gleichung nach a auflösen.

[spoiler]

3^2 + (a-5)^2 = 25

(a-5)^2 = 25 - 9

(a-5)^2 = 16

a - 5 = ± 4

a = 5 ± 4

Also zwei Lösungen: 

a_(1) = 9 und a_(2) = 1. 

[/spoiler]

Comments

Vielen Dank für den Hinweis!

Ich habe noch eine Frage dazu, und zwar wieso muss ich ± Wurzel ziehen?

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@Falabella

Wurzeln zieht man immer gleich. √(16) = 4. 

Weil 4^2 = 16 aber auch (-4)^2 = 16,

hat die Gleichung  u^2 = 16 zwei Lösungen. 

Die Wurzel aus 16 ist in Reellen immer +4. Das Minus muss man als zweite Möglichkeit jeweils vor die Wurzel schreiben. 

Answer 2

32 + (y - 5)^2 = 25
9 + y^2 + 25 = 25
Bei diesem Schritt ist der Fehler.

Es handelt sich bei
(y - 5)^2
um die 2.Binomische Formel welche
ausmultipliziert
y^2 - 10y + 25
ergibt.

Comments

Stimmt, danke!

Zweiter Versuch:

(x + 1)^{2} + (y - 5)^{2} = 25

3^2 + (y - 5)^2 = 25

9 + (y^2 - 10y + 25) = 25

y^2 - 10y + 34 = 25 | - 34

y^2 - 10y = - 9

Hm, wie muss ich weiter machen?

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y^2 - 10y + 9 = 0 ist eine quadratische Gleichung. Löse sie so, wie du das gelernt hast oder löse die Klammern gar nie auf. --> Antwort von TR. 

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y^2 - 10y = - 9
Dies Gleichung ist lösbar mit der
pq-Formel oder der quadrat. Ergänzung.

y^2 - 10y + 5^2 - 5 ^2 = -9
y^2 - 10y + 5^2 = -9 + 5^2
( y - 5 ) ^2 = 16 | √
y - 5 = ±√ 16
y = ± 4 + 5
y = 9
oder
y = 1

Ein Blick auf die Skizze zeigt die
Richtigkeit beider Lösungen.

f ( x ) = √ (5^2 - (x + 1)^2 ) + 5

Answer 3

Geometrisch sieht dein Problem übrigens so aus

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x+%2B+1)%5E(2)+%2B+(y+-+5)%5E(2)+%3D+25,+x%3D2

Da x=2 eine Sekante des Kreises ist, gibt es zwei Lösungen. Vgl. mein Kommentar zu TRs Antwort. 

Answer 4

Wie muss a gewählt, damit der Punkt A(2|a) auf dem Kreis K um den Mittelpunkt M(-1|5) mit dem Radius r=5 liegt?

Ich habe zunächst die Kreisgleichung (...) aufgestellt...

Warum? Mit der Abstandsbetrachtung

$$ \left|MA\right|^2 = r^2 $$ ergibt sich

$$ \left(-2-1\right)^2 + \left(a-5\right)^2 = 5^2 $$was mit deutlich weniger Aufwand auch zum Ziel führt:

$$ \left(a-5\right)^2 = 16 $$$$ a-5 = -4 \quad\text{oder}\quad a-5 = +4 $$$$ a = 1 \quad\text{oder}\quad a = 9 $$