> wie ich die Aussagen z.B. verneinen kann
Indem du ein ¬ voranstellst.
Wenn du willst, dann kannst du noch mittels
∀x A(x) ≡ ¬∃x ¬A(x)
und den bekannten Gesetzen der Aussagenlogik umformen.
> ob zwei Aussagen äquivalent sind
Wenn zu allen Formeln φ und ψ entscheidbar wäre, ob φ äquivalent zu ψ ist, dann könnte man entscheiden, ob φ eine Tautologie ist, indem man prüft ob φ äquivalent zu (φ ∨ ¬φ) ist.
Wenn man für jede Formel entscheiden könnte, ob sie eine Tautologie ist, dann könnte für jede Formel entscheiden, ob sie erfüllbar ist. φ ist nämlcih genau dann erfüllbar, wenn ¬φ keine Tautologie ist.
Es ist also im Allgemeinen nicht möglich, zu entscheiden ob zwei Formeln äquivalent sind.
In bestimmten Fällen geht das natürlich, und zwar durch Anwendung von Regeln wie obiger.