Lösen folgender Ungleichung: 1/(x+1) ≤ log(1+x) - log(x) ≤ 1/x

Question

Ich bräuchte Hilfe beim Lösen folgender Ungleichung für x>0:

$$ \frac{1}{1+x} \leq log(1+x)-log(x) \leq \frac{1}{x} $$

1/(x+1) ≤ log(1+x) - log(x) ≤ 1/x

Comments

x > 0

1 / ( 1+x ) ≤ 1 / x  | * ( 1 + x )
1 ≤ 1 * ( 1 + x )
1 ≤ 1 + x
stimmt für x > 0 immer.

Leider ist es mir nicht gelungen auch für
den mittleren Term den Nachweis zu erbringen.

Der Graph zeigt die Richtigkeit der Ungleichung
blau : linker Term
rot : mittlerer term
grün : rechter Term

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Ich bräuchte Hilfe beim Lösen ...

Wenn Du schon so fragst, ist jede Antwort für die Katz. Die Ungleichung ist nicht zu loesen, sondern zu beweisen.

Answer 1

1/(x+1) ≤ log(1+x) - log(x) ≤ 1/x
<=> 1/(x+1) ≤ log ((1+x) / x) ≤ 1/x

<=> 1/(x+1) ≤ log (1+1/x) ≤ 1/x

Georg hat ja schon viel Vorarbeit geleistet

Der Rest geht wohl so

log (1+1/x)  ≤ 1/x   und da e^x monoton steigend ist

 1+1/x ≤ e^{1/x}

und mit der Reihe für e^x

   1+1/x ≤   1 + (1/x) / 1!  +  (1/x)^2 / 2!  + ................

<=>  0 ≤   (1/x)^2 / 2!  + ................

was für x>0 sicher erfüllt ist.

Entsprechend auch der 1. Teil der Ungleichung.