Gruppen und Orthonormalbasis

Question

Zeigen Sie, dass

                                O(n) = {A ∈ Rn×n : A ist orthogonal}

ein Gruppe mit der üblichen Matrixmultiplikation ist. Ist O(2) abelsch?
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass für beliebige Matrizen A, B, C ∈ Rn×n gilt: A·(B · C) = (A· B)· C.

ich waere sehr dankbar wenn jemand mir das erklaeren koennte.

Answer 1

Für "Gruppe" musst du ja 4 Sachen prüfen:

1. Abgeschlossenheit:  Hier also: Produkt zweier orthogonaler Matrizen ist orthogonal

                    (Musst du vielleicht mittels Def. noch nachweisen.)

2. Assoziativität  (Brauchst du nicht (s. Aufgabe)

3. neutrales El:    Einheitsmatrix ist orthogonal

4. Und: zu jedem existiert ein Inverses in O(n), stimmt auch:

              Jede orthogonale Matrix hat eine inverse, und die ist auch orthogonal.

Comments

Danke fur die Antwort. Aber was ich nicht verstehe ist, dass von wo (in dem zweiten Bild) haben wir diese Matrizen genommen oder was hier genau passiert ist.

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Du solltest ja auch prüfen, ob die Gruppe

abelsch ist.

Also hat man da einfach mal ein paar Beispiele

probiert und welche gefunden, wo 

A*B nicht gleich B*A ist.

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Jetzt habe ich das verstanden.