Punkte auf einem gemeinsamen Kreis liegen

Question

Im spitzwinklingen Dreieck ABC wird der Höhenschnittpunkt mit H bezeichnet. Die Höhe von A schneide die Seite BC im Punkt H_a und die Parallele zu BC durch H schneide den Kreis mit Durchmesser AH_a in den Punkteb P_a und Q_a. Entsprechend seien die Punkte P_b und Q_b sowie P_c und Q_c festgelegt.

Beweise, dass die sechs Punkte P_a , Q_a , P_b , Q_b , P_c und Q_c auf einem gemeinsamen Kreis liegen.

Könnte jemand mir helfen.

Comments

Das ist die Aufgabe 3 aus dem Bundeswettbewerb für Mathematik 2018. Einsendeschluss ist erst der 1.März 2018!

Schade eigentlich endlich mal eine interessante Aufgabe ...

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IMHO ist die Aufgabe ungenügend gestellt. Weiß jemand wo der Mittelpunkt des Kreises mit Durchmesser \(AH_a\) sein soll?

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IMHO ist die Aufgabe ungenügend gestellt.

Nein, das ist sie nicht. (Wäre auch höchst verwunderlich bei einer BWM-Aufgabe.)

Der Mittelpunkt des von dir angesprochenen Kreises liegt in der Mitte zwischen A und H_(a). (Das hast du doch nicht im Ernst wissen wollen, oder?)

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"Wäre auch höchst verwunderlich bei einer BWM-Aufgabe." das war auch mein Gedanke!

"Der Mittelpunkt des von dir angesprochenen Kreises liegt in der Mitte zwischen A und Ha" - ok, das habe ich inzwischen auch so heraus bekommen, da dann die beschriebenen Schnittpunkte auf einem Kreis liegen.

"Das hast du doch nicht im Ernst wissen wollen, oder?" mein voller Ernst! Mal angenommen, in der Aufgabenstellung hieße es: ".. und die Parallele zu \(BC\) durch \(H\) schneide den Kreis, dessen Radius die Hälfte der Strecke \(AH_a\) beträgt, in den Punkte \(P_a\) und \(Q_a\)." und - wo ist der Kreis jetzt? Und wo war vorher ein mehr an Information? Das hieße doch, dass das Wort 'Durchmesser' nicht nur eine Länge sondern zusätzlich auch eine Lage beschreibt!

Gerade von Dir hätte ich einen anderen Kommentar erwartet ;-)

Gruß Werner

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Das hieße doch, dass das Wort 'Durchmesser' nicht nur eine Länge sondern zusätzlich auch eine Lage beschreibt! 

Genau das ist hier der Fall.
Bei der Formulierung  "...  schneide die Seite BC ..."  wurde das ja vorexerziert, dort hattest du keine Skrupel.

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"bei der Formulierung  "...  schneide die Seite BC ..."  wurde das ja vorexerziert, ..." Du sprichst mal wieder in Rätseln?

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In dieser Formulierung bezeichnet "BC" eine Punktmenge (die eine Dreiecksseite ist) so wie eben "AH_(a)" ebenfalls eine Punktmenge bezeichnet (die ein Kreisdurchmesser ist). Hätte der Autor eine Länge gemeint, hätte er wohl |AH_(a)| geschrieben.

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Sicher hat der Autor gemeint, dass der Durchmesser auf der Strecke \(AH_a\) liegt, klar ist das trotzdem nicht. Klarer wäre gewesen wenn dort z.B. steht: "... schneidet den Kreis, dessen Durchmesser auf \(AH_a\) liegt, ..". Die Sprache ist eben nicht so eindeutig!