LGS mit Parameter in Zeilenstufenform bringen, den Rang bestimmen und lösen.

Question

ich hatte ja viele LGS mit 4 unbekannten aber 3 Gleichungen. Aber ich habe zum ersten mal eine mit nur 2 Gleichungen und 4 unbekannten... 

hier funktioniert es nicht x_4 als Parameter zu nehmen und die anderen abhängig bon z.B. t zu bestimmen.

Also muss ich nun 2 Parameter einführen?

Und ist der Rang der Matrix zufällig 2?

Und ist das soweit richtig? (also ohne doppeltlinie rechts zwischen 2, 3 und 1, 3)

$$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 2 & 4 & -1 & 3\end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 \\ 3 \end{vmatrix}$$

mfg.

Answer 1

> Also muss ich nun 2 Parameter einführen?

Das wird sich zeigen nachdem du es in Zeilenstufenform gebracht hast.

> Und ist der Rang der Matrix zufällig 2?

Der Rang der Matrix ist 2. Ich glaube allerdings nicht, dass das Zufall ist. Vielmehr bin ich mir ziemlich sicher, dass das im Vornhinein so geplant war.

Parameter brauchst du für eine Spalte, wenn sie alle drei der folgenden Bedingungen erfüllt:

1. Sie enthält eine Zahl ≠ 0.
   
2. Unter dieser Zahl sind alle Einträge 0.
3. Links von dieser Zahl gibt es mindestens einen Eintrag ≠ 0.
   

Die Matrixform hast du korrekt aufgestellt.

Comments

zu b:

wie geht die Zeilenstufenform so einer matrix?

muss ich einfach x1 der zweiten Zeile wegbekommen und dann ist alles ok? und vielleicht noch x2 von der ersten Zeile?

der Rang ist eindeutig zwei, da wir zwei unabhängige Zeilen haben. und man sollte auch die Basen bestimmen können. 

also (1 0 ... ... | ..) basis 1? und (0 1 ... ...|...) basis 2? ich machs grad nur theoretisch, wenn der Ansatz richtig ist rechne ichs auch aus. 

zu c:

ich sollte nun ein LGS aufstellen und nach x1 bzw. x2 umformen... ich bekomme also jeweils 2 Parameter pro variable? ich frag nur weil das komisch ist und ich zum ersten mal sowas habe... 

mfg 

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> muss ich einfach x1 der zweiten Zeile wegbekommen und dann ist alles ok?

Ja.

> und vielleicht noch x2 von der ersten Zeile?

Wenn die Zeilen dann noch normiert sind (d. h. der erste Eintrag ≠ 0 ist 1) dann nennt man das reduzierte Zeilenstufenform.

> man sollte auch die Basen bestimmen können.

Diese Aussage ergibt keinen Sinn. Eine Basis eines Vektorraumes V ist eine linear unabhängige Menge von Vektoren aus V, mit deren Linearkombinationen man alle Vektoren aus V darstellen kann. Was ist in deiner Aussage der Vektorraum V?