Question

Eine Firma möchte eine rutsche konzipieren. In Fig 1 ist das seitliche Profil der rutsche dargstellt, das durch eine ganzrationale Funktion dritten Grades beschrieben werden soll. Der zugehörige graph hat in a(0/3) seinen höchsten Punkt und besitzt in b(-3/0,3), seinen tiefsten Punkt. In diesen beiden punkten verläuft die rutsche waagerecht,d.h. die Steigung ist hier null. A) bestimme die funktionsgleichung, die für -3=< x =

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Kannst du mir bitte sagen aus welchem buch die aufgabe ist??? Genauer Titel bitte

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Abcdef: Eine (andere) Rutsche mit Bild: https://www.mathelounge.de/257938/das-seitliche-profil-einer-rutsche

Vielleicht erkennst du jenes Buch? Gut möglich, dass die Lehrperson jene Aufgabe für ein Übungsblatt etwas abgeändert hat.

Answer 1

Hi,

die Bedinung für eine allgemeine Funktion dritten Grades lautet: f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Ableitung: f'(x) = 3ax^2+2bx+c

 

Bedingungen aufstellen:

f(0) = 3

f'(0) = 0

f(-3) = 0,3

f'(-3) = 0

 

Gleichungen die sich ergeben (einsetzen der Bedingungen in den Ansatz):

d = 3

c = 0

-27a+9b+3 = 3/30

27a-6b = 0

(Wobei c und d in die beiden letzten Gleichungen direkt eingesetzt wurden).

Das sind zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Das schnell gelöst und man erhält:

a = -0,2; b=-0,9; c=0 und d=3

 

Also f(x) = -0,2x^3-0,9x^2+3

 

Grüße

Comments

Hey unknown, Du hast. A und B als hochpunkt & Tiefpunkt gesehen oder?! Und die steigung nicht beachtet oder? Aber was soll ich mit -3 =< x =< 0 im der Aufgabenstellung machen ? Ist das irrelevant und kann ich weglassen/ ignorieren.?!

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Die Steigung eines Hochpunkts oder eines Tiefpunkts ist 0. Die Information die über die Steigung gegeben wurde ist also doppelt berücksichtigt, man hätte sie auch weglassen können.

Überprüfe die Steigung eines Hoch-/Tiefpunkts selbst, in dem Du eine Tangente anlegst -> Sie ist parallel zur x-Achse.


Der Satz bzgl dem Intervall ist abgebrochen. Mit der vorgestellten Rechnung hat der Satz aber keinen Einfluss. Eventuell bei einer Zeichnung ist das Intervall von Interesse ;).

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Ahhh endlich verstanden :D Vielen dank !!! Nur noch eine kleine Frage, bei Aufgabe b) muss ich nur den Hochpunkt errechnen. Stimmt das ?

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Wie lautet denn die b)?

Wenn nach dem höchsten Punkt innerhalb des Intervalls gefragt ist, brauchst Du eigentlich nichts zu tun, als die Aufgabenstellung zu zitieren :D.

Der zugehörige graph hat in a(0/3) seinen höchsten Punkt

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Die b) lautet: bereche den Punkt, indem die rutsche am steilsten ist

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Das ist aber nicht der höchste Punkt ;).

Es ist der Wendepunkt gesucht. Willst Du es selbst versuchen?
Kennst Du die Bedingungen für einen Wendepunkt?

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Die Notwendige Bedingung für Wendepunkte lautet f " (x) = 0
und die Hinreichende F "` (x) ≠ 0

aber was setze ich für (x) ein ?

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Löse f " (x) = 0 und Du erhältst Dein x ;).

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ich hab als x = -1,5 raus. und das ist jetzt mein höchster Punkt

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Deine Extrema sind bei x=0 u nd x=-3.

x=-1,5 ist völlig richtig. Hier ist die Wendestelle und die Rutsche am Steilsten.

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Vielen Dank, es hat mir sehr geholfen ich hoffe ich kann es jetzt auch an anderen Beispielen anwenden :)

Answer 2

Hi Doerte, 

eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat die allgemeine Form

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

f'''(x) = 6a

Gegeben ist uns in Deiner Aufgabe

f(0) = 3 = d

f(-3) = -27a + 9b - 3c + d = 0,3

f'(0) = 0 = c

f'(-3) = 0 = 27a - 6b + c

a = -0,2

b = -0,9

c = 0

d = 3

f(x) = -0,2x³ - 0,9x² + 3

Besten Gruß

Comments

Vielen dank, Und bei aufgabe b) muss ich nur den hochpunkt errechnen ?!:) Die Steigung ignoriert man einfach ?!

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Gerne :-)

Die Steigung wurde nicht ignoriert: In der Aufgabenstellung heißt es ja, dass die Steigung in den Punkten a und b = 0 ist (weil hier ein Maximum bzw. Minimum vorliegt); das spiegelt sich wieder in den beiden Gleichungen

f'(0) = 0

und
f'(-3) = 0

(Die 1. Ableitung gibt ja die Steigung wieder.)

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Hallo, ich muss diese Aufgabe auch rechnen. Teil a bekomme ich mit den Erläuterung gut hin. Vielen Dank. Mein Problem besteht bei Teil b, ich komme hier nicht auf die Ergebnisse W(-1,5/1,65). Ich bräuchte hier Hilfe

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Bedingungen/ vorgehen:

1)Um x zu bestimmen: zweite Ableitung gleich null setzen - variablen a und b einsetzen - nach x auflösen.

2) Wendepunkt Prüfung: x in die dritte Ableitung einsetzen. -> Ergebnis nicht null => Wendepunkt vorhanden.

3)  y bestimmen: x und variablen a/b/c/d in f(x) einsetzen.

Berechnung:

1)Du nimmst zur Berechnen des Wendepunkts die zweite Ableitung und setzt die berechneten Variablen a und b ein und löst nach x  auf.

F“(x)= 6ax + 2b

<=> 6* (-0.2)*x + 2* (-0.9)

<=> -1.2 x - 1.8

<=> + 1.8 = -1.2x

<=> 1.8 : (-1.2) = x

<=> -1.5 = x

2) f“‘(x)=6a <=> f“‘(-1.5)= 6* (-0.2) <=> f“‘(-1.5)=-1.2 => Wendepunkt liegt vor da ungleich null.

3) x und variablen in f(x) = ax³+ bx² + cx + d einsetzen.

f(-1.5) = (-0.2)*(-1.5)³ + (-0.9) * (-1.5)² + 0*(-1.5)+3

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Vielen lieben Dank