homogene lineare System soll nicht-triviale Lösungen besitzen, zeigen sie diese.

Question

erstaml allgemein, ein homogenes lineares System bedeutet , dass es auf jedenfall lösbar ist, oder?

Und nicht triviale Lösungen sind alle Lösungen ungleich 0, oder?

Jetzt zu der eigentlichen AUfgabe:

4x1	-x2	2x3	x4	=0
2x1	3x2	-x3	-2x4	=0
	7x2	-4x3	-5x4	=0
2x1	-11x2	7x3	8x4	=0

bei mir kamen immer zwei Nullzeilen raus ...doch leider bringt mich das nicht weiter, da in den oberen beiden Zeilen noch folgendes stand

4x1 + 2,5x2           -1,5x4 = 0

           3,5x2 -2x3 -2x5x4 = 0

Also zwei gleichungen und 4 unbekannte....?!

Answer 1

erstaml allgemein, ein homogenes lineares System bedeutet , dass es auf jedenfall lösbar ist, oder?

Und nicht triviale Lösungen sind alle Lösungen ungleich 0, oder?    GENAU !

4x1 + 2,5x2           -1,5x4 = 0

           3,5x2 -2x3 -2x4 = 0

Also zwei gleichungen und 4 unbekannte....?!

Wenn das so stimmt:

also kannst du x3 und  x4 frei wählen, etwa s und t.

dann  3,5x2 = 2s + 2t also  x2 = 4/7s + 4/7t 

einsetzen in die erste:

4x1 + 2,5*( 4/7s + 4/7t )  - 1,5t    = 0 nach x1 auflösen

 x1 = 1/56 s  - 20/56 t 

Dann sind alle Lösungen von der Art:

( 1/56 s  - 20/56 t ;  4/7s + 4/7t  ; s ; t ) 

=s*(1/56 ;  4/7 ; 1 ; 0 ) + t* (-20/56 ;  4/7  ; 0 ; 1 ) 

also sind alle Lösungen die Linearkombinationen von 

(1/56 ;  4/7 ; 1 ; 0 )    und   (-20/56 ;  4/7  ; 0 ; 1 ) .

Comments

Also zwei gleichungen und 4 unbekannte....?!

passt das etwa nicht?!
Oder passt das