Bakterienzuwachs Bitte ohne logaritmus hatte das noch nicht

Question

In einer Petrischale wird eine Kultur mit 60 Kolibakterien angelegt. Nach 20 minuten werden 80 Bakterien gezählt.

Gib die Anzahl der Bakterien nach 30 Min an.

Answer 1

 

x sei die Zeit inMinuten ,  N(x) die Anzahl der Bakterien zur Zeit x

N(x) = 60 * q^x     (q = Wachstumsfaktor)

80 = 60 * q²⁰  | : 60 und links kürzen 

4/3 = q²⁰    | ^1/20 

(4/3)^1/20 = q

1,01449  ≈  q

N(x) = 60 * 1,01449^x    [ x in Minuten ]  

N(30) = 60 * 1,01449³⁰ ≈  92,4  ≈  92  [ Bakterien ]

Gruß Wolfgang

Comments

Super Rechnung ! Ich bevorzuge es zwar lieber a^x zu benutzen aber klasse rechnung ! LG

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Eine frage hätte ich noch und zwar wieso hast du 1/20 genommen ?

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$$(q^{20})^{\frac { 1 }{ 20 }} = q^{20·\frac { 1 }{ 20 }} = q^1 = q$$

So lässt man rechts die Hochzahl 20 verschwinden.$$\sqrt[20]{q^{20}} = (q^{20})^{\frac { 1 }{ 20 }} = q$$

Answer 2

Wenn der Versuch mit 60 Bakterien gestartet ist und nach 20min 80 Bakterien gezählt wurden , so heißt das doch, dass 20 Bakterien dazu gekommen sind. So ein Bakterium vermehrt sich durch Teilung - heißt von den am Anfang 60 Bakterien haben sich 20 in dieser Zeit geteilt.

Zunächst suche Dir eine Zeitspanne, die Ganzzahlig in 20min und 30min passt. Das sind in diesem Fall 10min. Da 20min=2*10min und 30min=3*10min. Es ist zu erwarten, dass sich innerhalb dieser 10min eine bestimmte Anzahl von Bakterien teilt. Dieser Anteil ist konstant und ich nenne ihn $t$. Am Anfang $0 \text{min}$ sind 60 Bakterien da $$b(0 \text{min}) = 60$$ nach 10min teilen sich $b(0 \text{min}) \cdot t$ von ihnen. Folglich haben wir nach 10min

$$b(10 \text{min}) = b(0 \text{min}) + b(0 \text{min}) \cdot t = 60 + 60 \cdot t = 60(1+t)$$ und nach weiteren 10min teilen sich wieder $b(10 \text{min}) \cdot t$ also

$$b(20\text{min}) = b(10 \text{min}) + b(10 \text{min}) \cdot t = 60(1+t) + 60(1+t) \cdot t \\ \space= 60(1+t) (1+t) = 60 (1+t)^2$$ jetzt wissen wir aber, dass dies 80 Bakterien sein müssen - also ist

$$b(20\text{min}) = 80 = 60 (1+t)^2$$ $$\frac{80}{60} = (1+t)^2$$ $$\sqrt{\frac{8}{6}} = 1 +t$$ $$\sqrt{\frac{4}{3}} -1 = t$$ nach weiteren 10min geht das so weiter $$b(30\text{min}) =b(20\text{min}) +b(20\text{min})\cdot t \\ \space= b(20\text{min})(1+t) = 80(1 + \sqrt{\frac{4}{3}} -1) = 80 \sqrt{\frac{4}{3}} \approx 92$$ (ganz ohne Logarithmus ;-) Gruß Werner

Comments

Hallo Werner,
für mich wäre deine Antwort eher
abschreckend weil sie viel zu kompliziert
daherkommt.
Meine Meinung.
Aber der Fragesteller kann ja seine Meinung
auch einmal dazu sagen oder die beste Antwort
prämieren.

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Hallo Georg,

das verstehe ich - die Antwort ist für mich nicht kompliziert, sie ist aufwendig - das ist IMHO ein Unterschied. Ich habe das bewusst so gehalten. Ich würde mich freuen, wenn sich MatheOpfer dazu äußert.

Gruß Werner

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Danke für die Mühe :) Aber es scheint mir etwas zu Schwer trotzdem vielen Dank ! LG :)

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" Aber es scheint mir etwas zu Schwer " wärst Du noch so nett, mir zu schreiben an welcher Stelle es für Dich zu schwer wird. So ganz konkret!

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Hallo Werner,
wenn ich einmal pädagogisch werden soll.

Es geht bei dieser Aufgabe um das Einbleuen
sogenannter " Exponentialgleichungen ".

Ich erkläre Exponentialgleichungen mit dem
Vermehren eines Kapitals. Beispiel : ein Kapital
vermehrt sich jedes Jahr um den Faktor 1.05
1.Jahr : Kapital = Anfangskapital * 1.05
2.Jahr : Kapital = Ak * 1.05 * 1.05 = ak * 1.05 ²
3.Jahr : Kapital = Ak * 1.05 * 1.05 * 1.05 = ak * 1.05 ³
usw. Allgemein
K ( t ) = Anfangskapital * Faktor ^t
Die Formel gilt für alle Exponentialgleichen
egal ob Zinseszinsrechnung, Radioaktivität, Medikamentenabbau usw.

Hier
B ( t ) = B0 * fak ^t
Meist gibt es 2 Punkte
( 0 | 60 )
( 20 | 80 )
Nun ganz einfach eingestzt
B ( 0 ) = B0 * fak ⁰ = 60 
B ( 20 ) = B0 * fak ²⁰ = 80

B0 * fak ⁰ = 60  => B0=  60
60 * fak ²⁰ = 80
fak ²⁰ = 80/60  | hoch 1/20
(fak ²⁰ ) hoch 1/20 = (80/60) ^1/20
fak = (80/60) ^1/20 = 1.0145

B ( t ) = 60 * 1.0145 ^t
B ( 30 ) = ???

Dies ist das grundlegende Muster der
meisten Exponentialgeichungen.
Hoffentlich einfach erklärt.

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.. Danke für die Ausführungen; aber das weiß ich natürlich!

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Meine Ausführungen waren
a.) für den Fragesteller gedacht
b.) um einen einfachen Weg Exponential-
gleichungen zu erklären und deren mathematische
Lösung aufzuzeigen.

Zur Erheiterung und als Betthupferl

Sprüche aus gute-mathe-frage :

Was ist Newton ? Hat jemand eine Tabelle ?

Hallo was wären fie Nullstellen bei fer Aufgabe

mit 1 also zum beispielt (1+40x)³ oder kann sich auch benutzt werden
für potenzfunktionen wie (2+40x)². Online fand ich nichts außer mit
eins sollte mir eig klar machen das es nur mit eins
geht aber ich frage lieber einfach mal nach.

Ich weiß, dass man immer für x das einsetzt gegen was das laufen soll
wenn nicht 0 rauskommt. Bin ich jetzt fertig ?

F(x)=e^-x*x² der koordinatensprung der punkt p(u/0) u der punlt
q(u/f((u)) ,u>0 bilfen rechtwinköiges dreieck ermittle u , für
welchen der föächeninhal des dreicks max ist.

Ableitung von Wurzel(x)
In dr letzen frage hatte ich gefrakt mit Wurzel x. Aber wiso ist
Wurzel x denn das uebehaupt ??? Wie leitet Mann das ab?!

Ich muss immer mueh srlig i2 machen und dann einzelnd kann ich nicht
irgwie i8 i machen?

ketzt muas es richtig sei
( jetzt muß es richtig sein. Anm. des Übersetzers )

Answer 3

$$\text{Allgemeine Formel}\\f(x)=f(0)\cdot {q}^{x}$$ q ist die Änderungsrate. Die rechnet man aus indem man:$$\frac{f(1)}{f(0)}$$ rechnet.

$$\frac{80}{60}=1,\overline{3}$$

Das jetzt einsetzten mit: sei x=20min

$$f(x)=60\cdot {1,\overline{3}}^{x}\\f(1,5)=60\cdot ({1,\overline{3}})^{1,5}=92,37 =>\text{Nach 30min sind 92 Bakterien vorhanden}$$

Ist das so gemeint?

Smitty

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Achsoo danke verstehe aber wieso denn 1.5 ? 

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1x entspricht hier 20 Minuten, die Hälfte davon ist 10. Also 1,5*20min=30min

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Es erscheint mir sinnvoller, den Wachstumsfaktor q so zu bestimmen, dass man die Zeit direkt in Minuten einsetzen kann (vgl. meine Antwort).

Answer 4

In einer Petrischale wird eine Kultur mit 60 Kolibakterien angelegt. Nach 20 minuten werden 80 Bakterien gezählt.
Gib die Anzahl der Bakterien nach 30 Min an.

Dies ist eine Exponentialfunktion

b ( t ) = b0 * fak ^t
t in 10 Minutenschritten
( 0 | 60 )
( 2 | 80 )
( 3 | ? )

b ( 0 ) = b0 * fak ⁰ = b0 * 1 = 60
b0 = 60

b ( 2 ) = 60 * fak ² = 80
60 * fak ² = 80
fak ² = 4/3  | √
fak = 1.1547

b ( t ) = 60 * 1.1547 ^t
b ( 3 ) = 60 * 1.1547 ³ = 92.38

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Schön, dass wir zu dem gleichen Ergebnis kommen :)

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Es erscheint mir sinnvoller, den Wachstumsfaktor q so zu bestimmen, dass man die Zeit direkt in Minuten einsetzen kann (vgl. meine Antwort).

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Das war auch meine Überlegung.
Ich habe mich dann aber für die vielleicht
etwas " handlicheren " Zahlen 2 und 3 entschieden.
Vergleiche meinen Kommentar an Werner.