Wenn der Versuch mit 60 Bakterien gestartet ist und nach 20min 80 Bakterien gezählt wurden , so heißt das doch, dass 20 Bakterien dazu gekommen sind. So ein Bakterium vermehrt sich durch Teilung - heißt von den am Anfang 60 Bakterien haben sich 20 in dieser Zeit geteilt.
Zunächst suche Dir eine Zeitspanne, die Ganzzahlig in 20min und 30min passt. Das sind in diesem Fall 10min. Da 20min=2*10min und 30min=3*10min. Es ist zu erwarten, dass sich innerhalb dieser 10min eine bestimmte Anzahl von Bakterien teilt. Dieser Anteil ist konstant und ich nenne ihn \(t\). Am Anfang \(0 \text{min}\) sind 60 Bakterien da $$b(0 \text{min}) = 60$$ nach 10min teilen sich \(b(0 \text{min}) \cdot t\) von ihnen. Folglich haben wir nach 10min
$$b(10 \text{min}) = b(0 \text{min}) + b(0 \text{min}) \cdot t = 60 + 60 \cdot t = 60(1+t)$$ und nach weiteren 10min teilen sich wieder \(b(10 \text{min}) \cdot t\) also
$$b(20\text{min}) = b(10 \text{min}) + b(10 \text{min}) \cdot t = 60(1+t) + 60(1+t) \cdot t \\ \space= 60(1+t) (1+t) = 60 (1+t)^2$$ jetzt wissen wir aber, dass dies 80 Bakterien sein müssen - also ist
$$b(20\text{min}) = 80 = 60 (1+t)^2$$ $$\frac{80}{60} = (1+t)^2$$ $$\sqrt{\frac{8}{6}} = 1 +t$$ $$\sqrt{\frac{4}{3}} -1 = t$$ nach weiteren 10min geht das so weiter $$b(30\text{min}) =b(20\text{min}) +b(20\text{min})\cdot t \\ \space= b(20\text{min})(1+t) = 80(1 + \sqrt{\frac{4}{3}} -1) = 80 \sqrt{\frac{4}{3}} \approx 92$$ (ganz ohne Logarithmus ;-) Gruß Werner
