Grenzwert einer Cosinus Folge bestimmen.

Question

Wie kann ich mathematisch richtig den Grenzwert der Folge a_n=cos(n)*sin(12*pi/n) berechnen? Die Folge konvergiert gegen 0. Der Sinus Teil geht ja eindeutig für n→∞ gegen 0. Nur darf hier schließlich der Limes nicht jeweils einzeln berechnet werden, da cos ja nicht konvergiert. Und Fallunterscheidung macht ja kein Sinn, da cos von -1 bis 1 alle werte annimt für n gegen unendlich. Gibt es da eine Regel von der ich nichts weiß? 

Danke euch. 

Comments

Tipp: \(\vert a_n\vert<\left\vert\sin\frac{12\pi}n\right\vert\).

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Könntest mir das vielleicht noch etwas weiter erläutern bitte. Ist noch alles Neuland und lerne grade die Grundlagen. Also mit dem Tipp soll ich mein Problem durch Abschätzen lösen richtig? Um vermutlich irgendwie in der Art sagen zu können, dass wenn der sinus teil gegen 0 konvergiert, eine folge die kleiner ist als diese ebenfalls gegen 0 Null geht. Und damit die gesamte Folge a_n gegen 0.

Und woher kommt der Tipp? Woher weiß man das?

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Bekannt ist, dass die Folge \(\sin\frac{12\pi}n\) gegen Null konvergiert? Wenn du gerade bei den Grundlagen bist, wende die Definition des Grenzwerts auf diese Folge und \(a_n\) an.

Answer 1

   Man könnte auch sagen: Wenn du eine beschränkte Folge mit einer Nullfolge multiplizierst, bekommst du eine Nullfolge.

   Unabhängig davon.  Ich bin ein ab-soo-luu-ter Fan von ===> Edward Nelsons Nonstandard Analysis ( NSA ; IST )  wobei das Kürzel IST für Nelsons drei Axiome steht.

   Das Lehrbuch " Nonstandard Analysis " von Alain Robert bei Wiley , neueste Ausgabe bei Amazon .. Da sind auch nette Karikaturen drin

   " I have to admit there are nonstandard black holes. "

   Ich glaube Nelson hat richtig erkannt; hier gilt mehr als sonst der Spruch, vor den Preis haben die Götter den Schweiß gesetzt - wenn auch du dich autodidaktisch darauf einlassen könntest. Wer sich auf Nelson einkässrt, versteht, warum die großen Epsilontiker damals nicht anders konnten.

   Vor allem ist Nelson ja stolz wie Oskar, dass es ihm gelang, den verpönten Begriff der inf(initesimalen) Zahl zu rehabilitieren.

   Ich werde jetzt deinen Beweis in Nelsondiktion durchführen. NSA ist " Case sensitive ",  ab Jetzt sollen alle Variablen klein geschrieben werden.   " Groß A " bedeutet, dass die Variable " klein a " nur Standardwerte annehmen darf. Und für inf Größen reserviere ich griechische Buchstaben.

    Das bei Weitem wichtigste Axiom ist " Transfer " , das " T " in " IST "

    Klassische Beweise enden mit " was zu bbeweisen war " ; Nelsonbeweise mir " Rest durch Transfer "

    Gegeben seien eine  beschränkte Folge ( B_n )  so wie eine Nullfolge ( A_n )

    Durch Transfer folgt, dass ihre Glieder dem Betrage nach durch ein STANDARD B0 > 0 beschränkt sind.

   Das ===> Robinsonlemma besagt: Eine Folge  ( A_n )  ist genau dann eine Nullfolge, wenn für Nonstandard n ( oder n unbegrenzt, was das selbe ist ) folgt

           A  (  n  )  =  €  =  inf      (  1  )

     D.h. aber doch   für Nonstandard n

        A  ( n  )  B  (   n  )  <  €  B0      (  2a  )

     Nun gilt  aber

     Standard  *  inf  =  inf     (  2b  )

    D.h. auch die Produktfolge ( A B ) _ n    wird inf. Durch Anwendung von Onkel Robinson in der umgekehrten Richtung gelingt uns der Nachweis, dass AB Nullfolge.

Answer 2

Gibt es da eine Regel von der ich nichts weiß? 

Ist es nicht so, dass der erste Faktor beschränkt ist (du erwähntest: "...cos von -1 bis 1...") und der zweite Faktor eine Nullfolge ist ("...eindeutig für n→∞ gegen 0...")? Vielleicht solltest du mal die Früchte deiner Saat ernten, indem du auf die Beschaffenheit der Produktfolge schließt!