E-Funktion mit Paramter

Question

Gegeben ist die Funktionenschar  

  fa(x)=e^1-x/(e^1-x+a)^2, aIR a> 0

a)Definitionsmenge von fa

d)Bestimmen Sie die Ortskurve der Maximalstellen von fa!

Dazu hab ich die erste Ableitung die wie folgt lautet: fa‘(x)= e^1-x-a/(e^1-x+a)

Extremstellen hab ich nicht rausbekommen. eine Aufgabe vorher: ermitteln Sie die Extremum bei x=0. Verwenden Sie zur Bestimmung der Art dieses Extremums das Vorzeichenwechselkriteriums. 

e)Für alle xeIR gilt: fa(1-lna +x)=fa(1-lna-x)

Welche geometrische Bedeutung hat diese Gleichung für die Graphen von fa?

Ich bereite mich gerade auf das Abitur im LK Mathe vor und bin auf die Aufgabe gestoßen, wo ich die Lösungen nicht habe. 

Ich hätte extreme Schwierigkeiten bei den Aufgaben und war relativ unsicher beim Rechnen da ich nichts kontrollieren könnte. 

 B

Comments

 So ist die Funktion fa!!!!

Answer 1

Hallo

 deine funktion ist so unlesbar.

ist $$f(x)=\frac{e^{1-x}}{(e^{1-x}+a)^2}$$

dann ist deine Ableitung falsch.Quotientenregel anwenden

wenn f(a+x)=f(a-x) heisst das die Funktionswerte von f sind in gleichem Abstand links und rechts von a gleich, deshalb ist f symmetrisch zu der geraden x=a.

Gruß lul

Answer 2

Gegeben ist die Funktionenschar  

  fa(x)=e^{1-x}/(e^{1-x}+a)2,  a ∈ℝ , a> 0

a)Definitionsmenge von fa:   e^{1-x}+a   >  0  für alle x ∈ℝ , also D_f=ℝ

                                            

d)Bestimmen Sie die Ortskurve der Maximalstellen von fa!

Dazu hab ich die erste Ableitung die wie folgt lautet: fa‘(x)= e1-x-a/(e1-x+a)

                           ich bekomme  (Quotientenregel und Kettenregel !)

                                     f_a ' (x) =  (  e^{x+2} - a * e^{2x+1} )  /  ( a*e^x + e )^3

Extremstellen:   e^{x+2} - a * e^{2x+1} = 0 

                           e^{x+2}  =  a * e^{2x+1}

                           e^{-x+1}  =  a

                            -x+1 = ln(a)    [ geht wegen a>0 ]

                               x =  1 - ln(a) 

eine Aufgabe vorher: ermitteln Sie die Extremum bei x=0  .

Das wäre dann der Fall a=e .. Verwenden Sie zur Bestimmung der Art dieses Extremums das Vorzeichenwechselkriteriums. 

Da ist ja dann f ' (x) =   (  e^{x+2} - e * e^{2x+1} )  /  ( e*e^x + e )^3

                               =   (  e^{x+2} -  e^{2x+2} )  /  ( e^{x+1} + e )^3

                                =   (  e^{x+2} * ( 1 -  e^x  )  /  ( e^{x+1} + e )^3

Und der Vorzeichenwechsel hängt nur vom Faktor (1 - e^x ) ab. Die anderen sind 

positiv. Also wechselt das VZ der Abl.  bei x=0  von + nach -, also dort ein Max.

Ortskurve:  fa( 1 - ln(a) ) = 1 / (4a) . Also mit 

                   x =  1 - ln(a)     und   y =   1 / (4a) 

hast du    1-x = ln(a) ==>   a = e^{1-x}  und damit 

                  y = 1 / ( 4*e^{1-x})    (Gl. der Ortskurve )

e)Für alle xeIR gilt: fa(1-lna +x)=fa(1-lna-x)

Welche geometrische Bedeutung hat diese Gleichung für die Graphen von fa?

Symmetrie zur Geraden mit der Gleichung x=1-ln(a).