Nullstellen von E- Funktion f(x)=x^2*e^x

Question

Ich hätte nochmal eine frage. Wäre nett wenn dies schritt für schritt erklärt wird. 

Gegeben ist die Funktion f(x)=x^2*e^x 

Untersuchen Sie die Funktion. Bestimmen die dazu alle Schnittpunkte ihres Graphen mit dem Koordinatenachsen (usw) 

Mir geht es dabei nur um die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. 

Wäre das jetzt so angegangen: 

X^2*e^x=0 

Wie löse ich das dann auf ? Denke mal irgendwie mit dem Natürlicjem Logarithmus, aber könnte das vielleicht einer nochmal schrittweise erklären ? 

Answer 1

f(x) = x^2·e^x

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 0^2·e^0 = 0

Nullstellen f(x) = 0

x^2·e^x = 0 --> Satz vom Nullprodukt

x^2 = 0 --> x = 0 (2-fache Nullstelle)

e^x > 0 --> Die e-Funktion ist immer > 0 und kann daher nie Null sein.

Comments

Was ist dieser Satz des nullprodukt und wie kommst du damit von x^2*e^x zu nur x^2

---

Ein Produkt ist dann gleich null, wenn einer der Faktoren null ist.

Hier gibt es zwei Faktoren: x^2 und e^x

e^x kann nicht null werden, daher bleibt nur noch x^2. 

---

A * B = 0

Das Produkt aus A und B kann nur Null werden, wenn A oder B null sind. Daher kann man getrennt alles Faktoren gleich Null setzen.

A = 0

B = 0

Funktioniert so auch mit mehr als 2 Faktoren.

(x + 5)(x + 1)(x - 4) = 0

Kannst du jetzt die Nullstellen bestimmen?

Answer 2

x^2*e^x=0

Wie löse ich das dann auf ?

->Satz vom Nullprodukt:

1.) x^2= 0 ->x_1.2=0

2.) e^x= 0 ->keine Lösung

Answer 3

 Noch ein Hinweis zur Kurvendiskussion; Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel.

   " Eine gerade Nullstelle so wie deine doppelte im Ursprung ist IMMER ein LOKALES EXTREMUM . "

  ( Ich sage immer; es gibt nur hinreichende, keine notwendigen Bedingungen. )

   In deinem Fall ist völlig klar, dass es sich gleichzeitig um das absolute Minimum handeln muss; denk mal selbst nach warum.