Wendepunkte e Funktionen

Question

Hab jetzt doch nochmal eine Frage. 

Soll den Wendepunkt berechnen und habe jetzt als 2 Ableitung e^x(4x+x^2+2)=0 

Wie kann ich da hier jetzt wieder schritt für schritt den Wendepunkt bestimmen ? 

Ausgangsfunktion ist f(x)=x^2*e^x

Vielen Dank 

Answer 1

Du musst die Nullstellen der zweiten Ableitung suchen:

f''(x)=(x^2+4x+2)*e^x=0   (zweite Ableitung)

e^x=0

x^2+4x+2=0

PQ-Formel:

x_1,2=-4/2±√((-4/2)^2-2)

x₁=-2+√2≈-0.59

x₂=-2-√2≈-3.41

Dann musst du diese in die dritte Funktion einsetzen, um zu überprüfen ob es Wendestellen gibt.

f'''(-3.41)=(-3.41^2+6*(-3.41)+6)*e^{-3.41}=-0.87≠0

f'''(-0.59)=(-0.59^2+6*(-0.59)+6)*e^{-0.59}=1.17≠0

Das heißt, dass das Kriterium erfüllt wird!

Die Nullstellen der zweiten Funktion musst du nun wieder in die Stammfunktion einsetzen.

f(-3.41)=-3.41^2*e^{-3.41}=-0.38

f(-0.59)=-0.59^2*e^{-0.59}=-0.19

W₁=(-3.41,-0.38)

W₂=(-0.59,-0.19)

LG

Comments

Anton, schau dir bitte nochmal die y-Koordinaten der Wenepunkte an. Ich bekomme

W1 = (-3,41|0,38)

W2 = ( -0,59|0,19)

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Hmm, das ist komisch.

Ich muss es so eingeben (mit Klammern):

f(-3.41)=(-3.41)^2*e^{-3.41}≈0.384

f(-0.59)=(-0.59)^2*e^{-0.59}≈0.193

W_(1)=(-3.41,0.384)

W_(2)=(-0.59,0.193)

Nun stimmts!

~plot~ x^2*e^x ~plot~

Answer 2

notwendiges Kriterium:  y''(x_e) =0

hinreichendes Kriterium: y''(x_e) =0 und y'''(x_e) ≠0

e^x(4x+x2+2)=0 

->Satz vom Nullprodukt:

-->e^x =0 ->keine Lösung

--->4x+x^2+2=0 ->PQ-Formel

x^2+4x+2=0

x_1.2= -2± √(4-2)

x_1.2= -2± √2

W₁ (-2+ √2 / 0.191)

W₂ (-2- √2 /0.3835)

Answer 3

  Auch an dich der Tipp, wie man die 2. Ableitung berechnet. Es gibt eine direkte Verallgemeinerung der Produktregel, die ===> Leibnizregel ( Schau mal in Wiki )  Die geht mit dem ===> binomischen Lehrsatz und erlaubt dir aus dem Stand, die 4 711. Ableitung deiner Funktion hinzuschreibnen, ohne vorher die ersten 4 710 Ableitungen zu bilden.

    Im Falle der 2. Ableitung hättest du

    (  u  v  )  "  =  u  "  v  +  2  u  '  v  '  +  u  v  "         (  1  )

   Ich würd mal behaupten man sieht doch auf einen Blick, dass dein Ergebnis richtig ist.

   " Exercise make se mäster " , wie wir Runaways sagen. H#ttest du nicht Lust auf die 5. Ableitung?

   Vielleicht noch zu deinem Versuch mit den WP .  Dein Polynom ist ja normiert; aus dem ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )   würde ja die Ganzzahligkeit der Wurzeln folgen. Das wären in diesem Falle Minus eins und Minus 2 ; sehr viel mehr Spielraum bleibt da nicht.

  Seit es den SRN gibt, ist ja sein Zwillingsbruder, der Eisensteintest, für Schüler Mega intressant; es trifft sich nämlich, dass dein Polynom positiv testet mit Eisensteinzahl 2 .  Solche Polynome können immer nur " kaputte "  Mitternachtswurzeln haben.

    Dieses Polynom ist " krank "  ; mit eisenstein verhält es sich wie in der Medizin.  Testergebnis negativ heißt noch lange nicht, dass du gesund bist.