Ist die Funktion gerade oder ungerade? a)f(x)= 5x^4 + 2x^3 + 5x -2, b)f(x)= -3x^4 - 2x^2 + 6x

Question

Untersuche ob die Fuktion gerade oder ungerade ist.

a)f(x)= 5x^4 + 2x^3 + 5x -2            ungerade

b)f(x)= -3x^4 - 2x^2 + 6x         ungerade

c)f(x)=2x^6 - 7x^4 + x^2 +3    gerade

d)f(x)=2x^7 +4x^3 +126x       ungerade

e)f(x)= 37x^4 (x#0)                     gerade

f)f(x)=2/ (x^2 + 4)                  gerade

Wie findeich das heraus? und brauche ich eine rechnung wennn ja welche

Comments

# Wofür steht das 'Anzahl'-Zeichen in e) ?

Achtung: Es gibt auch Funktionen, die weder Gerade noch ungerade sind.

Sind das deine Resultate, die du korrigiert haben möchtest?

Answer 1

Schau dir die Definitionen von geraden bzw. ungeraden Funktionen an (z.B. aus Wikipedia):

Definition

Eine reelle Funktion mit einem bezüglich der Null symmetrischen Definitionsbereich heißt gerade, wenn für alle Argumente x aus ihrem Definitionsbereich gilt:

f ( - x ) = f ( x ) 

Sie heißt ungerade, wenn für alle Argumente x aus ihrem Definitionsbereich gilt:

f ( - x ) = - f ( x ) 

Anschaulich ist eine reelle Funktion genau dann gerade, wenn ihr Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse ist und ungerade, wenn ihr Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.

Prüfe also für jede der angegebenen Funktionen, ob f ( - x ) = f ( x ) gilt oder oder ob f ( - x ) = - f ( x ) gilt. Gilt beides nicht, dann ist die Funktion weder gerade noch ungerade.

 

Beispiel (Aufgabe a) deiner Frage):

f ( x ) = f ( - x )

<=> 5 x ⁴ + 2 x ³ + 5 x - 2  =  5 * ( - x ) ⁴ + 2 ( - x ) ³ + 5 ( - x )  - 2 

<=>  5 x ⁴ + 2 x ³ + 5 x - 2  = 5 x ⁴ - 2 x ³ - 5 x - 2

<=> 2 x ³ + 5 x = - 2 x ³ - 5 x

<=> 4 x ³ + 10 x = 0

<=> x ( 4 x ² + 10 ) = 0

<=> x = 0 ODER 4 x ² = - 10 (keine reelle Lösung)

Also: f ( x ) = f ( - x ) gilt nur für x = 0 . Bei einer geraden Funktion aber müsste diese Beziehung für alle x gelten, also ist f ( x ) nicht gerade.

Nun kann man daraus aber nicht schließen, dass f ungerade ist, denn f kann auch weder gerade noch ungerade sein. Also muss noch geprüft werden, ob f ungerade ist, ob also gilt:

f ( - x ) = - f ( x )

<=> 5 * ( - x ) ⁴ + 2 ( - x ) ³ + 5 ( - x )  - 2 = - ( 5 x ⁴ + 2 x ³ + 5 x - 2  )

<=> 5 x ⁴ - 2 x ³ - 5 x - 2 = - 5 x ⁴ - 2 x ³ - 5 x + 2

<=> 5x ⁴ - 2 = - 5 x ⁴  + 2

<=> 10 x ⁴ - 4 = 0

<=> 10 x ⁴ = 4

<=> x ⁴ = 0,4

<=> x = 4.Wurzel ( 0,4 ) = 0,7953 (gerundet)

Also: Auch f ( - x ) = - f ( x ) gilt nicht für alle x sondern nur für x = 4.Wurzel ( 0,4 ). Damit ist f auch nicht ungerade. Insgesamt ist also f weder gerade noch ungerade.

So prüfst du auch für die übrigen Funktionen.

Answer 2

Hi,

Achte auf die Exponenten. Sind alle gerade, ist die Funktion gerade. Sind sie gerade und ungerade, so ist die Funktion weder das eine noch das andere.

a)f(x)= 5x⁴ + 2x³ + 5x -2          weder noch

b)f(x)= -3x⁴ - 2x² + 6x         weder noch

c)f(x)=2x⁶ - 7x⁴ + x² +3    gerade

d)f(x)=2x⁷ +4x³ +126x       ungerade

e)f(x)= 37x⁴ (x#0)                     gerade

f)f(x)=2/ (x² + 4)                  gerade

 

Für das letzte kannst Du auch die Bedingung f(-x) = f(x) benutzen, wenn es nicht so offensichtlich ist.

 

Grüße