Die Helmert-Transformation besteht aus einer Rotation \(R\), einer Skalierung mit Faktor \(m\) und einer Verschiebung um den Vektor \(\vec{X}\) - rein formel heißt, dass aus einem Punkt \(p\) wie folgt
$$p'= m \cdot R \cdot p + \vec{X}$$
ein Punkt \(p'\) wird. Das \(R\) ist eine Rotationsmatrix, die im Allgemeinen und für \(\alpha=30°\) so aussieht
$$R = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac12\sqrt{3} & -\frac12 \\ \frac12 & \frac12\sqrt{3} \end{pmatrix}$$ Multipliziert man \(B=(-2; 0)^T\) mit dieser Matrix, so erhält man
$$B' = \begin{pmatrix} \frac12\sqrt{3} & -\frac12 \\ \frac12 & \frac12\sqrt{3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sqrt{3} \\ -1 \end{pmatrix} $$ schau mal in der Zeichnung oben nach, ob das passt. Eine Skalierung um \(m=2,5\) ist eine schlichte Multiplikation aller Koordinaten:
$$B'' = 2,5 \cdot \begin{pmatrix} -\sqrt{3} \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac52\sqrt{3} \\ -\frac52 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -4,3 \\ -2,5 \end{pmatrix}$$ und zum Schluß die Verschiebung um \(\vec{X} = (1; -1)^T\); ist eine schlichte Addition der einzelnen Koordinaten miteinander
$$B''' = \begin{pmatrix} -\frac52\sqrt{3} \\ -\frac52 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\frac52\sqrt{3}+1 \\ -\frac72 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -3,3 \\ -3,5 \end{pmatrix} $$ schaut man in die Zeichnung, so passt das. Und die Punkte \(A\) und \(C\) schaffst Du nun allein - oder?
