Danke Werner für deinen Geist reichen Kommentar. Da gibt es viel drauf zu antworten. Natürlich; meine Ortogonalitätsforderung nach den Spalten einer Matrix U ist äquivalent zu
U ^ - 1 = ( U+ ) ( 1 )
Du könntest daher " unitäre Matrix " auch über ( 1 ) definieren.
Ein tief liegendes Teorem der Liegruppenteorie besagt, eine Matrix U ist genau dann unitär, wenn sie sich schreiben lässt als e-Funktion
U = exp ( i H ) ( 2 )
mit H Hermitesch. ( 2 ) ist so eine Art verallgemeinerter Eulersatz, wenn man bedenkt, dass Hermitesche Matrizen oft als die reellen Zahlen unter den Matrizen bezeichnet werden.
Aus ( 2 ) folgt unmittelbar, dass sich jedes unitäre U auf eine Ortonormalbasis diagonalisieren lässt und die Eigenwerte auf dem komplexen Einheitskreis liegen ( was sich übrigens auch elementar einsehen lässt. )
Ist im Übrigen U reell, so treten Eigenwerte immer Paar weise komplex konjugiert auf. Bzw. reelle Eigenwerte können nur sein ( +/- 1 ) Aus dieser Beobachtung folgt die Aussage
det ( U ) = ( +/- 1 ) ( 3 )
in Übereinstimmung mit ( 1 )
Aber dass eine Matrix Determinante 1 hat, ist in gewissem Sinne trivial und hat mit Unitär nicht das Geringste zu tun. Sei M eine beliebige Matrix; dann definiere ich
M ' := [ 1 / det ( M ) ] * M ( 4a )
Gegenbeispiel
2 0
0 1/2 ( 4b )
Und jetzt zu deinem Beispiel.
P := 1/2 * 1 3 ^ 1/2 ( 5a )
3 ^ 1/2 - 1
Offensichtlich ist P Hermitesch
( P+ ) = P ( 5b )
Aus den Eigenschaften
Sp ( P ) = 0 ; det ( P ) = ( - 1 ) ( 5c )
erschließt man zwei Eigenwerte ( +/- 1 ) Damit erfüllt P die Matrixpolynomgleichung
P ² = 1 ( 6a )
Ein Hermitescher Operator, der Identität ( 6a ) erfüllt, heißt bei uns Physikern traditionell Parität. Zusammen mit ( 5b ) bedeutet ( 6a ) aber auch gleichzeitig
P ( P+ ) = 1 ( 6b )
Jede Parität ist gleichzeitig unitär.
Najaa; ich bin jetzt nicht so der Fachmann für Liegruppen. In unseren Lehrbüchern stand drin, dass sich die O ( n ) aus zwei Zusammenhangskomponenten zusammen setzt - je nach Vorzeichen der Determinante. In keinem irgendwie gearteten Sinne beschreibt dein P eine Drehung um 60 ° , sondern eine Klappspiegelung um eine Achse, die um diesen Winkel gedreht ist.
PS ; mein Verhältnis zu Leo Kronecker ist durchaus ein nicht triviales.
Vor etwa zehn Jahren schlug ich eine Beschleunigung des Euklidischen ggt Algoritmus vor; ab 5 wird aufgerundet wie üblich. Das hat ja schon der Herr Lehrer gesagt. Also 64 : 13 gibt nicht 4 Rest 12, sondern 5 Rest ( - 1 )
Die Reaktion der Schüler war durch die Bank ablehnend. Traditionell sind ja Schüler autoritär.
" Das bringt nichts; und wenn es etwas brächte, hätte uns das der Lehrer schon gesagt ... "
Keiner argumentierte
" Da ich ohnehin meine Hausaufgaben im Internet abschreibe, könnte ich ja mal auf die Idee kommen, den Lehrer zu fragen, was er von deinem Vorschlag hält. "
Nur einer meldete sich; der gab mir einen Link im Internet. Die Rezension einer Kroneckerarbeit. Freilich hatte sich Kronecker seiner Zeit bissele mehr angesttengt als icn.
Er hatte gezeigt: die Konvergenzgeschwindigkeit des klassischen Euklid beträgt zwei Mal die Stellenzahl des Zählers; und unter allen denkbaren Modifikationen des Euklid ist seine, Kroneckers, die schnellst mögliche. Sie besteht wie gesagt darin, ab 5 aufzurunden.
