Doppelte Nullstelle in Ableitung

Question

ich habe eine kleine Mathefrage. Und zwar habe ich einen Graph ohne Funktion. Und eine Aussage die ich überprüfen muss. 

Aussage: Der Graph von I berührt die  x-Achse.

I ist die Stammfunktion von dem Graph.

Ich habe auch die Lösung in der steht I(-1)=0 und I'(-1)=f(-1)=0 darum ist bei x=-1 eine Nullstelle mit negativer Tangente.

Nun ist meine Frage: Woher weis ich das bei I(-1)=0 ist? Das mit f(-1) kann ich ja ablesen aber bei dem anderen verstehen ich es nicht. 

Ich hoffe ihr könnt mir helfen

OuX

Comments

Schick doch mal die Originalaufgabe.

Die Aussage:  I ist die Stammfunktion von dem Graph.

Ist Quatsch. Wenn eine Funktion eine

Stammfunktion hat, dann hat sie auch viele

Stammfunktionen. Und dann gibt es auch immer

eine, die bei -1 den Funktionswert 0 hat.

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Das ist die originale Aufgabe und davon die 2 Aussage

Answer 1

Ich zeichne dir mal die Funktion und die drei möglichen Funktionen die die x-Achse berühren.

Berührpunkt kann es ja nur dort geben wo die Ableitung 0 ist. 

Ich denke jetzt kannst du auch die gegebenen Aussagen begründen und widerlegen. Achtung. Meine Skizze dient nicht als Beweis. Du sollst es mit den gegebenen Angaben beweisen oder widerlegen.

Meine Skizze dient nur deinem Verständnis.

Answer 2

Aha, es war die Integralfunktion gestartet bei -1 und nicht

irgendeine Stammfunktion.

Wenn der Graph von I die x-Achse an der Stelle a berührt, muss gelten:

I(a)=0   und I' (a) = 0 

Da I' = f ist, kann a nur -1 ,  0   oder   2 sein; denn nur dort gilt f(a) = 0.

Bei a=-1 gilt jedenfalls  auch I(a) = 0 ; denn I(a) ist ja das Integral von

-1 bis a, hier also von -1 bis -1 und das ist jedenfalls auch 0.

Und damit bist du fertig.

Der Graph von I berührt die x-Achse bei -1.

Comments

Sorry ich verstehe es trotzdem nicht. Ich verstehe nicht woher ich sehe das bei -1 eine doppelte Nullstelle und kein Extrempunkt ist.

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Wenn du bei x=-1 eine doppelte Nullstelle hast, dass ist x = - 1 eine Extremalstelle mit dem y-Wert 0. 

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Noch eine letzte Frage. Woher weis ich dann das bei -1der y Wert 0 ist. Ich sehe da keinen Unterschied zu den anderen Nullstellen.

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Die Nullstellen von f sind die Stellen, bei denen die 

Ableitung von I den Wert 0 hat, also Stellen, bei denen

der Graph von I die Steigung 0 hat.

Der Funktionswert von I ist an einer Stelle x aber nur dann 0, wenn 

Integral von -1 bis x über f(t) dt 

gleich 0 ist. (So ist ja I definiert.)

Und das ist sicherlich bei x=-1 der Fall, denn da geht ja das

Integral von -1 bis -1 , ist also 0.