> was kann man aus den einzelnen "Buchstaben" rauslesen
Die "Buchstaben" heißen Koeffizienten.
a > 0: die Funtkionswerte gehen gegen ∞ wenn x gegen ∞ geht.
a < 0: die Funtkionswerte gehen gegen -∞ wenn x gegen ∞ geht.
Der konstante Summand (ohne x) gibt an wo die y-Achse geschnitten wird.
Der Summand cx (bzw. dx) gibt die Steigung am Schnitpunkt mit der y-Achse an.
Der Summand bx2 (bzw. cx2) gibt das Krümmungsverhalten am Schnittpunkt mit der y-Achse an. (> 0: linksgekrümmt, <0: rechtgekrümmt).
Beispiel. f(x) = -x3 - 5x2 + 20x + 1.
Die Funktion schneidet die y-Achse im Punkt (0|1). Dort hat sie wegen 20x eine Steigung von 20 und wegen -5x2 ist sie dort rechtsgekrümmt.
Wegen des -x3-Terms gehen die Funktionswerte gegen -∞ für x→∞. Weil Funktionen dritten Grades nur einen Wendepunkt haben und die Funktion bei x=0 und für x→∞ rechtsgekrümmt ist, muss der Wendepunkt eine negative x-Koordinate haben.
Da die Funktion letztendlich fällt und bei x=0 steigt, muss sie einen Hochpunkt mit positiver x-Koordinate haben. Analog dazu muss sie einen Tiefpunkt mit negativer x-Koordinate haben.
Weil der y-Achsenabschnitt positiv ist und f(x) → -∞ für x→∞ hat die Funktion eine positive Nullstelle.
Wegen der starken Steigung bei (0|1) und f(x) → ∞ für x→-∞ vermute ich zwei weitere Nullstellen, die negativ sind.
Zusammengefasst:
- Kommt aus dem II. Quadranten
- Verläuft dann vermutlich in den III. Quadranten
- Hat dann einen Tiefpunkt
- Verläuft dann gegebenenfalls zurück in den II. Quadranten
- Hat einen Wendepunkt im II. oder III. Quadranten
- schneidet die y-Achse bei 1, wechselt also dort in den I. Quadranten
- Hat dort einen Hochpunkt
- endet im IV. Quadranten