Was sagen mir die "Buchstaben" bei Ganzrationalen Funktionen?

Question

Eine Ganzrationale Funktion 3. Grades hat ja folgenden Term: ax^3+bx^2+cx+d

Eine Ganzrationale Funktion 4. Grades hat ja den Term: ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

Meine Frage ist nun, was kann man aus den einzelnen "Buchstaben" rauslesen, also welche Informaition zum Verlauf liefern diese?

Answer 1

So ganz spontan wüßte ich nur

f ( x ) = a * x^2 + b*x + c
a > 0 : eine nach oben geöffnete Parabel
a < 0 : eine nach unten geöffnete Parabel

Answer 2

> was kann man aus den einzelnen "Buchstaben" rauslesen

Die "Buchstaben" heißen Koeffizienten.

a > 0: die Funtkionswerte gehen gegen ∞ wenn  x gegen ∞ geht.

a < 0: die Funtkionswerte gehen gegen -∞ wenn  x gegen ∞ geht.

Der konstante Summand (ohne x) gibt an wo die y-Achse geschnitten wird.

Der Summand cx (bzw. dx) gibt die Steigung am Schnitpunkt mit der y-Achse an.

Der Summand bx² (bzw. cx²) gibt das Krümmungsverhalten am Schnittpunkt mit der y-Achse an. (> 0: linksgekrümmt, <0: rechtgekrümmt).

Beispiel. f(x) = -x³ - 5x² + 20x + 1.

Die Funktion schneidet die y-Achse im Punkt (0|1). Dort hat sie wegen 20x eine Steigung von 20 und wegen -5x² ist sie dort rechtsgekrümmt.

Wegen des -x³-Terms gehen die Funktionswerte gegen -∞ für x→∞.   Weil Funktionen dritten Grades nur einen Wendepunkt haben und die Funktion bei x=0 und für x→∞ rechtsgekrümmt ist, muss der Wendepunkt eine negative x-Koordinate haben.

Da die Funktion letztendlich fällt und bei x=0 steigt, muss sie einen Hochpunkt mit positiver x-Koordinate haben. Analog dazu muss sie einen Tiefpunkt mit negativer x-Koordinate haben.

Weil der y-Achsenabschnitt positiv ist und f(x) → -∞ für x→∞ hat die Funktion eine positive Nullstelle.

Wegen der starken Steigung bei (0|1) und f(x) → ∞ für x→-∞ vermute ich zwei weitere Nullstellen, die negativ sind.

Zusammengefasst:

1. Kommt aus dem II. Quadranten
2. Verläuft dann vermutlich in den III. Quadranten
3. Hat dann einen Tiefpunkt
4. Verläuft dann gegebenenfalls zurück in den II. Quadranten
5. Hat einen Wendepunkt im II. oder III. Quadranten
6. schneidet die y-Achse bei 1, wechselt also dort in den I. Quadranten
7. Hat dort einen Hochpunkt
8. endet im IV. Quadranten
   

Answer 3

Eine Ganzrationale Funktion 3. Grades hat ja folgenden Term: ax^3+bx^2+cx+d

d=f(0)

c= Steigung der Tangente in x=0

a: gibt Grenzwertverhalten für x gegen +- ∞ an

Wendestelle bei x_w=-b/(3a)

Eine Ganzrationale Funktion 4. Grades hat ja den Term: ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

d=f(0)

a: gibt Grenzwertverhalten für x gegen +- ∞ an

d= Steigung der Tangente in x=0