Diesen Term Vereinfachen: a^-1 (bd^-1)^-1 bc(b^-1cdc)^-1 ab^-1 (ich kann die Lösung nicht nachvollziehen)

Question

Gegeben ist im Titel genannter Term, der vereinfacht werden soll:

\(a^{-1}(bd^{-1})^{-1}bc(b^{-1}cdc)^{-1}ab^{-1}\)

Ich würde den erstmal ausmultiplizieren, so dass:

\(  a^{-1}ba^{-1}d^{-1} bcb^{-1}cdc^{-1}ab^{-1}   \)

Da hier alles Faktoren sind (• (=Mal)- Operator), würde ich z.B. das erste \(a^{-1}\) mit dem letzten \(a\) auflösen.
Wenn ich nach diesem Prinzip weiter mache, ist meine Lösung meilenweit von der Musterlösung entfernt. 

Musterlösung:

 \(  a^{-1}(bd^{-1})^{-1}bc(b^{-1}cdc)^{-1}ab^{-1}  \)
=   \(   a^{-1}db^{-1}bcc^{-1}d^{-1}c^{-1}bab^{-1}   \)
=   \(  a^{-1}dd^{-1}c^{-1}bab^{-1}   \)
=   \(  a^{-1}c^{-1}bab^{-1}  \)

Ich verstehe nicht mal die erste Zeile.

Answer 1

bei a * (b * c)  multipliziert man nicht aus, sondern man kann die Klammern einfach weglassen [ Assoziativgesetz der Multiplikation ]

Ausmultipliziert wird nur, wenn in der Klammer eine Summe (Differenz) steht:

a * ( b ± c ) = a * b ± a * c     [ Distributivgesetz ]

Gruß Wolfgang

Comments

Stimmt, das habe ich ausser acht gelassen.

In der ersten Zeile der Musterlösung werden die Faktoren trotzdem scheinbar beliebig zusammen gewürfelt. Mir wird da keine Regel ersichtlich.

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In einem Produkt kann man die Reihenfolge der Faktoren beliebig vertauschen (auch bei mehreren Faktoren).

Das ist das allgemeine Kommtativgesetz der Multiplikation.

Answer 2

a^{-1}·(b·d^{-1})^{-1}·b·c·(b^{-1}·c·d·c)^{-1}·a·b^{-1}

a^{-1}·b^{-1}·d^{1}·b^{1}·c^{1}·b^{1}·c^{-1}·d^{-1}·c^{-1}·a^{1}·b^{-1}

a^{-1 + 1}·b^{-1 + 1 + 1 - 1}·c^{1 - 1 - 1}·d^{1 - 1}

a^{0}·b^{0}·c^{- 1}·d^{0}

1/c

a, b, c, d ≠ 0

Comments

(b·d^{-1})^{-1}

= b^{-1}·(d^{-1})^{-1}

= b^{-1}·d^{-1 * -1}

= b^{-1}·d^{1}

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Aus unerfindlichen Gründen war ich mir nicht im klaren, dass ich mir die Arbeit auf diese Weise übersichtlicher gestalten kann.

In der 2. Zeile, wo du die Potenzen addierst/subtrahierst, gehst du davon aus, dass Kommutativität gilt oder?

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Ja. Ich war jetzt mal von einem mathematischen Term mit Reellen Zahlen ausgegangen. Habe jetzt erst aufgrund deiner Antwort gesehen, das es allgemein für eine Gruppe zu zeigen ist. Dann vereinfachst du es mit den bekannten Regeln für Gruppen.

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Oh ja, ...ich war so in der Aufgabe vertieft, dass ich beim Formulieren der Frage nicht genug Übersicht gegeben habe. Mein Fehler.

Answer 3

Ich würde den erstmal ausmultiplizieren,

Das geht nur wenn in der Klammer eine Summe ist.

Hier ist so:

Die Klammern mit dem " hoch minus 1 " dran rechnest du

erst mal aus und bedenke d hoch minus hoch minus 1 gibt d etc.

Offenbar ist das hier zwar assoziativ aber nicht kommutativ, also

musst du beim Auflösen der "hoch -1" Klammern die Reihenfolge tauschen.

Genau das ist in dem 1. Lösungsschritt passiert.

Danach sind die unmittelbar benachbarten Produkte der Art

b^{-1}b und cc^{-1} weggelassen worden, denn die ergeben ja

das neutrale Element.

Dadurch stehen jetzt dd^{-1} nebeneinander und werden als

letztes weggelassen.

Comments

"Offenbar ist das hier zwar assoziativ aber nicht kommutativ, also
musst du beim Auflösen der "hoch -1" Klammern die Reihenfolge tauschen."

Das ist der Knackpunkt.

Woran erkennst du, dass es nicht auch kommutativ ist?

Wieso muss die Reihenfolge getauscht werden?

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Dass es nicht kommutativ ist müsste in der Vor. stehen, bzw.

da müsste irgendwo stehen aus welchem Bereich (Gruppe, Ring oder so)

die abcd sind.

Das mit dem Umdrehen ist bei nicht kommutativen immer so,

das Inverse von ab ist b^{-1}a^{-1} denn

ab * b^{-1}a^{-1} = aa^{-1} = 1.

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Das Umdrehen hat also nichts damit zu tun, dass der eine Faktor plötzlich nen positiven/negativen Exponenten hat, sondern einfach nur, dass die Faktoren halt einmal ihre Position wechseln?

also:

\(   (a^{-1}b)^{-1}  \Rightarrow (b^{-1}a)\) bzw.

\(  (ab^{-1})^{-1}  \Rightarrow (ba^{-1})\)

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Genau so ist es, und wenn die Operation kommutativ ist,

ist das natürlich nicht nötig (aber auch nicht falsch).