Ich gehe mal davon aus, dass du in die Algebravorlesung gehst - für Wahr ein löbliches Beginnen ...
Hier so fängt das doch immer an. Steht schon im Artin und im v.d. Waerden; besonders lege ich dir das Algebraskript von Otto Haupt ans Herz, den ich selbst noch die Ehre hatte, anlässlich seines 100. Geburtstages kennen zu lernen.
Überlege mal: wie funktioniert Körpererweiterung ( KE ) ? Wie habt ihr das gelernt? Du gehst doch immer aus von einem Minimalpolynom; über Körper K ; in unserem Falle also wäre das beispielsweise K = |R und dein
p := x ² + 1 ( 1 )
( Warum ist p minimal? ) Dann wird bewiesen: Der Faktorring von |R [ x ] modulo Polynom ( 1 ) ist ein Körper und enthält die Nullstelle ( in unserem Falle = i ) , die du adjungieren willst, damit ( 1 ) lösbar ist.
Diese Nullstelle ist immer die Restklasse der formalen Variablen
i := [ x ] ( 2 )
weil ja ( 2 ) die Forderung ( 1 ) trivial löst.
Du musst nur noch den V.d. Waerden etwas aufbereiten, wie du den Text aus dem Lehrbuch so abschreibst, dass es wirkt wie die Lösung deiner Aufgabe.
Ich will hier auch mal ganz ganz deutlich werden. Anfängern, auch Matematikern erzählt man immer das dahin geschlampte Märchen, komplexe Zahlen seien Paare reeller Zahlen, für die man sich bestimmte Rechenregeln ausgedacht hat ( die demnach auch ganz anders lauten könnten. )
Ich ernte hier immer Kritik, und nicht zu knapp, wenn ich sage: Bevor man sich an die komplexen Zahlen wagt, soll man den Studenten im Steilkurs vermitteln, was eine KE ist. Das ist wahrlich nicht zu viel verlangt; Polynomdivision kann schließlich jeder. Man gewöhnt sich dann nämlich frühzeitig, was ein Ideal ist und was der Quotientenring modulo einem Ideal ist.
Freilich; ich gebe es ja zu. Praktisch bedeutsam wird das wirklich nur bei der Definition der komplexen Zahlen. Aber sag doch selbst; stell dir mal vor, ein Student meldet sich
" Herr Professor; können Sie uns noch ein weiteres Beispiel geben? "
Es schadet sicher nicht ...
Es hat recht eigentlich zu tun mit dem Kampf gegen die sog. " optative " Matematik.
Damit ist gemeint: Wann immer ein Problem unlösbar ist wie die Wurzel aus Minus Eins, dann " erweitere " ich den Definitionsbereich um ein fantastisches Element, hier dieses imafinäre i , von dem ich einfach fordere, es möge das leisten, was ich von ihm erwarte ...
