Da kann ich mal wieder glänzen, was ich alles über quadratische Gleichungen weiß. Zun ächst mal wird nicht eingesetzt oder aufgelöst; du hast immer ===> symmetrische Funktionen. Vieta das geschmähte Stiefkind.
Ich gehe rein mit dem Ansatz
x ² - p x + q = 0 ( 1 )
Bloß was ist jetzt p und q ? Vieta
p = x1 + x2 = 1/2 U mit U = Umfang ( 2a )
q = x1 x2 = F = Fläche ( 2b )
x ² - U x / 2 + F = 0 ( 2c )
In ( 2c ) siehst du ganz deutlich, wie unsinnig hier " einsetzen " ist; die beiden gesuchten Rechteckseiten x1 und x2 sind Wurzeln von ( 2c )
Beispiel a ; wir setzen die Werte ein in ( 2c )
x ² - 20 x + 100 = ( x - 10 ) ² = 0 ===> x1;2 = 10 ( 3 )
Das gibt ein Quadrat; das verstehst du übrigens nur dann, wenn du eingesehen hast, dass die beiden Lösungen schon die Rechteckseiten sind - dass da eben nichts mehr " aufgelöst " wird.
Beispiel b)
f ( x ) = x ² - 29 x + 100 = 0 ( 4a )
Gibt mir wieder mal Gelegenheit, auf meinem Lieblingstema rumzureiten, dem ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Mich machte mal ein User an, ich sei ein " Troll, weil ich nicht zitiere, dass der SRN auf Gauß " zurück gehe. Eine kurze Recherche ergab, dass das tatsächlich so behauptet wird in den Textbüchern ( die ihn überhaupt zur Kenntnis nehmen ) so wie in Wiki.
Eine leicht zu durchschauende Fälschung; denn Artin und v.d. Waerden, jene Urgesteine der Algebra ( 1930 ) Kennen ihn überhaupt nicht.
Da ich nun vehement diesen Fälschungsvorwurf erhebe, meldete sich ein zweiter User; der SRN lasse sich zurück verfolgen bis ins Jahr 1975.
" Dass er in einem Zusammenhang mit Gauß stehe, habe ICH nie behauptet ... "
Alldieweil ( 4a ) normiert ist, lässt der SRN in unserem Fall nur GANZZAHLIGE Lösungen zu - klingt sehr vernünftig. Im Hinblick auf Vieta q in ( 2b ) müssen wir offenbar sämtliche Zerlegungen der 100 durchprobieren. Immerhin ist die Primzahldarstellung 100 = 2 ² * 5 ² ; ja lohnt sich dieser Aufwand überhaupt noch?
x1 und x2 sind TEILER FREMD . Woher weiß ich jetzt auf einmal das wieder?
Machen wir erst mal fertig. Teiler Fremd heißt: Weder das Zweier-noch das Fünferpäckchen darfst du aufschnüren. Für uns gibt es nur die triviale Zerlegung 100 = 1 * 100 so wie die nicht triviale 100 = 4 * 25 . Paradox; der geforderte Umfang ist nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend. Denn Vieta ( 2ab ) ist ja hinreichend.
x1 = 1 ; x2 = 100 ; p = 101 ( 4b )
x1 = 4 ; x2 = 25 ; p = 29 ( 4c ) ; ok
Wie war das jetzt mit diesem ggt? Immerhin muss der SRN noch so neu sein, dass sich vor mir niemand fragte geschweige Gauß , was ist denn nun eigentlich ggt x1;2 ? Sei m ein Teiler; dann folgt wieder aus dem Satz von Vieta
m | x1;2 <===> m | p ; m ² | q ( 4d )
Ein m, das die rechte Seite von ( 4d ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms ( 4a ) heißen - " K " wie " Koeffizient " Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt ; die Behauptung in ( 4a )
ggt x1;2 = gkt ( f ) ( 4e )
Als hätte er mich und meine genialen Erkenntnisse voraus geahn, bietet Beispiel c) eine Anwendung des gkt.
f ( x ) = x ² - 52 x + 100 = 0 ( 5a )
gkt ( f ) = 2 ( 5b )
Da drängt sich doch förmlich die Frage auf; kann man auch Polynome kürzen durch ihren gkt? Man kann; und zwar vermöge der Substitution
x := u * gkt ( f ) = 2 u ( 5c )
wir setzen ( 5c ) ein in ( 5a )
( 2 u ) ² - 26 * 2 ( 2 u ) + 2 ² * 25 = ( 5d )
= 2 ² ( u ² - 26 u + 25 ) = 0 ( 5e )
Jetzt überleben nur noch die triviale Zerlegung 25 = 1 * 25 so wie die nicht triviale 25 = 5 * 5 - halt Stop; die gerade nicht. Denn die würde uns ja einen ggt = 5 bescheren; und den ggt haben wir oben eliminiert.
Trotzdem ist dieser Vietatest geboten, weil ja nirgends steht, dass es rationale Lösungen überhaupt gibt ( Vielleicht wird da auch mal was entdeckt; ick wunswe mir über jarnischt mehr. )
Summa summarum
u1 = 1 ; u2 = 25 ===> x1 = 2 ; x2 = 50 ( 5f )
