Beweisen, dass U ein UVR von ℂ² ist

Question

Ich sitze hier schon länger dran. Die Aufgabe lautet:

Wir betrachten ℂ² als ℂ-Vektorraum. Sei f: ℂ² → ℂ² eine lineare Abbildung. Wir betrachten:

     U := {(x, y) ∈ ℂ: f((x, y)) = (ix, iy)}.

1, Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von ℂ² ist.

2, Zeigen Sie:

     ker( f ) ∩ U = {(0, 0)}.

Zu 1, Wie zeige ich, dass U ≠ ∅, v ⊕ w ∈ U und s ⊗ v ∈ U? (mit v, w ∈ U und s ∈ ℂ, also dass U ein UVR von ℂ ist?)

Und wie beweise ich Aufgabe 2?

Danke schonmal für die Hilfe! :)

Answer 1

Hallo

 denk daran, dass du ja in C^2 bist, x,y also komplexe Zahlen. setzt einen Vektor (ix_1,iy_2) und addier sie  und stelle fest dass sie wieder in U liegen. bzw. sass der Unterraum ganz C^2 ist, damit ist dann auch 2) beantwortet, weil ja nur 0 auf 0 abgebildet wird

Gruß lul

Comments

Noch ein Nachtrag:

Wenn ich bspw. v, w ∈ U: v ⊕ w ∈ U beweisen will, sollte ich eher für z.b. v = ((a + bi), (c + di)) wählen oder reicht es, wenn ich v = (a, b) wähle mit a, b ∈ ℂ?

Answer 2

  Ich mein fast, du kommst hier mit dem Begriff des Eigenwerts weiter. Dein U ist doch nichts weiter als der  Eigenraum zum Eigenwert i  . Nur weil der eigens danach fragt; die Menge  M_E  der Vektoren zu gegebenem Eigenwert  E  bildet immer einen Unterraum.

   Und der Kern ist der Eigenraum zu Eigenwert Null;  ich bekam hier sogar schon einen sehr aggressiven Kommentar des Inhalts, das hättet ihr alle längst kapiert - nun denn  ...

   Der Durchschnitt zweier ( nebenbei: auch über-über-über ... abzählbar vieler ) Vektorräume ist wieder ein Vektorraum.

   Und der Durchschnitt zweier Räume M_E1  und M_E2   -  hier  E1  =  i  und  E2  =  0  ist natürlich immer die Null  (  warum? )

   Typisch Matematiker; ein trivialer Sachverhalt so verklausuliert ausgedrückt, dass kaum einer mehr weiß, was er meint ...     Vielleicht  verstehst du jetzt meinen Standpunkt.  Oft wenn ich während des Studiums ein Texgbuch las, setzte ich das Gelesene kreativ zu völlig neuen Einheiten zusammen.