Winkelfunktionen: Am Einheitskreis zeigen, dass cos(45°) = 1/2 * √2 und sin(45°) = 1/2 * √2

Question

habe kürzlich mein Studium angefangen, haben nun Übungsblätter bekommen, allerdings hatte ich schon einige Jahre kein Mathe mehr und verstehe die Aufgaben nicht einma ansatzweise :P Deswegen wollt ich hier mal nach einen ausführlichen Lösungsweg für die erste Aufgabe des Blattes fragen:

Aufgabe:

Zeichnen Sie einen im Ursprung O=(0,) eines kartesischen Koordinatensystems zentrierten Einheitskreis (Kreis mit Radius 1),

a) Zeigen Sie anhand einer geeigneten Figur im Einheitskreis und mithilfe des Satzes von Pythagoras, dass die Beziehungen cos(45°) = 1/2 x √2 und sin(45°) = 1/2 x √2 gelten. Berechnen Sie hieraus den Wert von tan(45°).

b) Zeigen Sie anhand einer geeigneten Figur im Einheitskreis und mithilfe des Satzes von Pythagoras, dass die Beziehungen sin(60°) = √3/2 und cos(60°) 0 1/2 gelten. Berechnen Sie hieraus den Wert von tan(45°).

c) Bestimmen Sie sin(120°) und cos(120°).

Comments

Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1 um den Punkt (0,0).

Einen Teil der verlangen Berechnungen und ein einführendes Video findest du hier: https://www.mathelounge.de/33096/kann-folgende-werte-winkelfunktionen-herleiten-60°-sin-45°

Kommst du damit klar?

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Vielen Dank erst mal für deine Antwort, werde mir das Video morgen anschauen! =)

Answer 1

a) Zeigen Sie anhand einer geeigneten Figur im Einheitskreis und mithilfe des Satzes von Pythagoras, dass die Beziehungen cos(45°) = 1/2 * √2 und sin(45°) = 1/2 * √2 gelten.

Vgl. Link im obigen Kommentar und Skizze hier:

Berechnen Sie hieraus den Wert von tan(45°).

tan(45°) = sin(45°) / cos(45°) = (1/2 * √2) : (1/2 * √2) = 1

b) Zeigen Sie anhand einer geeigneten Figur im Einheitskreis und mithilfe des Satzes von Pythagoras, dass die Beziehungen sin(60°) = √3/2 und cos(60°) = 1/2 gelten. Berechnen Sie hieraus den Wert von tan(60°).

sin und cos: vgl. Link im Kommentar. und Skizze, die ich via https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%2860°%29 erstellt habe.

tan(60°) = sin(60°) / cos(60°) = (√3/2) / (1/2) = √3

c) Bestimmen Sie sin(120°) und cos(120°).

Aus Symmetriegründen gilt sin(120°) = sin(60°) = √3/2

und cos(120°) = - cos(60°) = -1/2

Skizze diesmal direkt aus https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28120°%29

Kontrolliere alle Resultate noch mit dem Taschenrechner.