Bedeutung Abbildungsvorschrift verstehen, Normierte Räume. Supremumsnorm bei C[0,1] (stetigen Funktionen über [0,1])

Question

Verständnisfrage zu dieser Aufgabe:

Bedeutet das:

C spannt einen Raum auf der "von 0 bis 1 geht" in dem eine stetige Funktion f eine Abbildung von [0,1] nach R ist?

Also kann ich das "naiv" so deuten dass f den Raum zusätzlich einschränkt?

oder:

f bildet von C nach R ab

oder

f bildet von [0,1] nach R ab mit der Einschränkung C, also steht da quasi [0,1] --> [0,1] 

Wo schlägt dann die Norm auf?

C ist versehen mit dieser Norm also heißt das einfach nur dass ich eine Funktion f in die Norm "reinwerfen" kann und dann kommt was gültiges bei raus?

Danke :)

Answer 1

\(C[0,1]\) ist die Menge aller auf \([0,1]\) definierten reellwertigen stetigen Funktionen. Und in \(\Vert\cdot\Vert_\infty\) steckt man so eine Funktion rein (da wo der Punkt steht), und raus kommt eine nichtnegative reelle Zahl.

Comments

Ok, also wenn ich dann konkret eine Fuktion f(x) betrachte folgt aus der Mengendefinition dann x∈[0,1]?

Wird C[0,1] schon außen definiert und innen kommt dann noch die Ergänzung für die Funktionen? Oder steh ich grad auf dem Schlauch und das [0,1] vor der Klammer sagt noch gar nichts über C aus sondern ist nur die Bezeichnung?

Also ist C im Endeffekt ein Raum der sich über die Abbildungen von anderen Räumen definiert? Kann man das beliebig schachteln?

Die Norm bezieht sich dann aber auf den Raum und nicht die Funktion, also quasi, man kann alles aus dem Raum in die Norm stecken und das sind in diesem Fall halt nur Funktionen die wie beschrieben abbilden?

Kann man Räume konstruieren wo eine Norm nicht gilt oder ist eine Norm wenn sie die Normeigenschaften erfüllt "allgemeingültig" (in reellen Räumen gültig)? Also existieren auf diesem Raum auch andere Normen wenn sie nicht explizit genannt werden? Warum nennt man sie dann explizit?

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Ich verstehe nicht recht, wo Du da rumeierst. Der erste Doppelpunkt gehoert zur Funktionsnotation \(f:[0,1]\to\mathbb{R}\). Aus der Gesamtheit dieser Funktionen werden dann die stetigen ausgesondert. Das kommt nach dem zweiten Doppelpunkt, der das Aussonderungskriterium abtrennt. Man kann auch schreiben \(C[0,1]=\{f\in\operatorname{Abb}([0,1],\mathbb{R})\mid\text{$f$ ist stetig}\}\).

Nebenbei ist \(\operatorname{Abb}(M,\mathbb{R})\) für jede Menge \(M\) ein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum. Das ist ein wichtiges Standardbeispiel und sollte von Dir gruendlich studiert und verstanden sein, bevor Du hier weitermachst.

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Danke passt, hatte da nen Denkfehler weil ich zu lange drüber nachgedacht hab und versucht habe mir den Raum aus Funktionen vorzustellen. Dann hatte ich einen Raum in dem wieder andere Räume zu dessen "Grenzen" beitragen und nix hat mehr Sinn ergeben.

Einfach nur als Menge kann ich das verdauen, aber "Raum" triggert bei mir immer die Vorstellung von einem aufgespannten Gebilde mit "Koordinatenachsen", das wird dann zu abstrakt. R^n geht noch, aber sobald dann Abbildungen dazukommen ists vorbei.

Und dazu hab ich mich dann noch an dem [0,1] vor der Mengenklammer aufgehängt, da hab ich nicht geblickt dass das zur Notation C[0,1] dazugehört und nicht auch schon den Raum definiert.

Answer 2

C[0, 1] := {f: [0, 1] → ℝ : f stetig}

C[0, 1] ist definiert als die Menge aller Funktionen vom Intervall [0, 1] in die reellen Zahlen, die stetig sind.

Answer 3

   <<  Einfach nur als Menge kann ich das verdauen,

   <<  aber "Raum" triggert bei mir

    <<  immer die Vorstellung

     <<   von einem aufgespannten Gebilde

      < <  mit "Koordinatenachsen"

       Lies Wiki; und  LERNE ES AUSWÄNDIG . ( Erläuterungen und Beweise alles bei Wiki. )

       SATZ und DEFINITION   (  Basis  )

   ====================================

   Ein Vektorensystem bildet eine Basis, wenn eine der folgenden vier äquivalenten Eigenschaften gegeben ist:

    1)   eindeutig                                   Erzeugendes

    2)  minimales                                             "

    3)                     linear unabhängiges          "

     4)  maximal         "             "

     ======================================

     So viel zu den Koordinatenachsen.

    Was ist das, ein   "  Erzeugendes  "  ?  Bilden z.B.  alle  (  überabzählbar unendlich  !  )   vielen Vektoren  des  |R  ³  ein Erzeugendes?  Ja .

   Du musst dir jetzt vorstellen, wie " Linearkombination "  ( LK ) funktioniert.    In jedem Falle ist eine  LK    eine nur  ENDLICHE  Summe;  Reihen wie z.B. Taylor-oder Fourierreihen sind  NICHT  zugelassen.  Du kannst also z.B. in einer Basis einen " unendlichen Werkzeugkasten "  vor dir haben, darfst aber in jedem konkreten Einzelfall nur eine endliche Auswahl treffen.

   In der Tat ist die Dimension deines Vektorraums  C  Aleph_1  =  überabzählbar unendlich.

   Das ist den Matematikern jetzt mehr als peinlich; denn woher weiß man überhaupt, dass z.B. c ( als reeller Vektorraum  ) eine Basis besitzt?

    Das geht nicht mehr ohne  ===>  Ordinalzahlen ( Online übrigens ganz super erklärt mit bunten Diagrammen ) und den ===>  Wohlordnungssatz  ( WOS ) ;  beides scheuen die Matematiker wie der Teufel das Weihwasser. Obwohl sie diese Kröte mit dem ===> Auswahlaxiom längst geschluckt haben.

    Du hättest also sehr wohl Basisfunktionen in Analogie zu den Koordinatenachsen

    f1 ,  f2 , f3, .....    ,    f_r  ;  r  <  Aleph_1      (  1  )  

 

     (  Aleph_1  übernimmt hier die typische Rolle einer  ===>  Gtenzzahl )

       Ich wollte dir nur gesagt haben, dass du durchaus in die richtige Richtung denkst. Es ist den Matematikern nur eben peinlich.

   Vielleicht ist es ja wie in der Biologie.  Wo kommen die Kinder her?  Eine einfache Frage;  und   die Antwort ist auch ganz logisch. Nur vielen Eltern ist sie halt peinlich ...

    Nimm doch ein näher liegendes Beispiel.  Oft hilft es ja, sich etwas Kompliziertes, was man nur halb verstanden hat, erst mal an einem einfachen Beispiel klar zu machen, das du missverstanden hättest, wenn man dir das Richtige, das Komplizierte nie gesagt hätte.

   Nimm doch erst mal den Raum der Polynome über |R;  den notiert man traditionell  |R [ x ]   Und?  Was  wäre hier eine Basis?

   Z:B. die Potenzen

     x ^ 0  ,  x  ^ 1  ,  x  ²   ,  x  ³  ,  x  ^  4  ,   ......    (  2  )

   also ( abzählbar ) unendlich viele.  Denk daran; ich hatte dir gesagt:  Taylorreihen darfst du  aus den Basisfunktionen ( 2 )  nicht bilden; der Grad eines Polynoms ist immer endlich, nämlich sein höchster von Null verschiedener Koeffizient,

   Und die Ordinalzahl   von ( 2 )  ist die kleinste  " transfinite "  Grenzzahl

     w  (  Ich meine Omega  )  =  Aleph_0  =  |N     (  3  )

   ( Vom Standpunkt einer Ordinalzahl ist das nämlich alles das selbe; die Gleichheitszeichen sind wörtlich zu nehmen. )

Comments

Also kann ich das zusammenfassen als:

Auch "mein Raum da oben" wird aus einer endlichen Zahl von Funktionen aufgespannt die als Linearkombination alle anderen Funktionen in diesem Raum bilden können?

Warum die Anzahl endlich ist hab ich jetzt zwar noch nicht verstanden, damit kann ich aber erstmal leben, das führt mir jetzt sonst zu weit :) 

Wo ich noch hänge, im R^n mit konkreten Zahlen sehe ich einem Vektor ja direkt an ob er im R^n liegt? Aber in diesem Raum "sehe ich das doch nicht auf den ersten Blick" sondern müsste mir erst anschauen was die Funktionen genau machen?

Also wenn ich mir einen Vektor mit m Funktionen vorstelle dann müsste ich mir für jede einzelne Funktion anschauen ob das Bild in R liegt um sagen zu können ob der Vektor überhaupt in meinem Raum "gültig" ist? Also das passiert quasi erst zur Laufzeit?

Oder funktioniert das so, dass mit Nennung der Funktion automatisch auch immer schon Definitionsbereich und Bildbereich "bekannt sind" und die Auswahl dann quasi vor der Ausformulierung greift?

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  Nein.  Denk doch an die Polynome.  Werden denn etwa die Polynome von endlich vielen Funktionen aufgespannt?  Sicher nicht. Denn wenn du alle Polynome vom Grade 4 711 abdecken willst, brauchst du 4 712 Basispolynome.   Und wenn du alle Polynome vom Grad 999 999 abdecken willst, nrauchst du eine Million Basispolynome.

   Nun ist der Grad eines Polynoms nach Oben unbeschränkt; du brauchst also den " unendlichen " Werkzeugkasten als Reserve -  obwohl jedes konkrete Polynom ja nur  ENDLICH viele Basisfunktionen enthält.

   Du weißt aber nicht, welche du jeweils brauchst. Es könnte ja sein, dass alle Koeffizienten unter einer Million und über zwei Millionen verschwinden; du brauchst also für dein Beispiel nur Potenzen zwischen ein unnd zwei Millionen.

    Mach dir das bitte klar, warum die reellen Polynome Dimension Unendlich haben.  Wenn dir das nicht ganz einleuchtet - frag lieber nochmal.

   Kannst du noch die ganzen Vektorraumaxiome?  Du kriegst von mir folgende Hausaufgabe;  rechne nach

    1)  Die Nullabbildung ist stetig.

     2 ) Wenn f  (  x )  stetig, so auch  k  f  (  x  )   (  sog. Homogenität )

     3)   Wenn f ( x ) und g ( x ) beide stetig, so auch  ( f + g )  ( Additivität )

      Wir haben also verstanden:  C  , die Menge aller stetigen Funktionen, bildet einen reellen Vektorraum.

   Profs mögen  aber Studenten nicht, die weiter gehende Fragen stellen.  Du hast jetzt praktisch die Idee: Wenn C ein Vektorraum ist, müsste es doch auch eine Basis geben und eine Dimension.

    Hmmm;  die ganze moderne Mengenlehre ist eine Frucht der mittelalterlichen ===> Gottesbeweise.

   Gott existiert und ist allwissend.  Das nutzt mir aber nichts; denn er behält sein Wissen für sich ....

    Genau in der nämlichen Kalamität befindet sich die Mathematik, wenn du fragst, ob C eine Basis hat.  Da tobt ein endloser Grabenkrieg.

   Gott existiert nur für die, die an ihn glauben. Und genau so ist es hier.

   Die heutige Matematik beruht auf einem Axiomensystem, das uns zwingt zu glauben, dass C eine Basis besitzt.  Sicher; es steht dir frei zu glauben, dass das nicht der Fall sei.   Dann legst du aber die Axt an die Wurzel alles dessen, woran Matematiker glauben.

   Es wäre ja schön, wenn man z.B. diese Basis angeben könnte für praktische Rechnungen.

    Gott lässt uns die Freiheit,  nicht an ihn zu glauben, weil er uns auf die Probe stellen will ...

     Genau so hier. Könntest du diese Basis von C angeben, WÜSSTEST du ja, dass sie existiert.  Dann wäre das eine Sache des Wissens und nicht mehr des Glaubens.

    Nun wäre ja denkbar, dass eine solche Basis von C indirekt von Nutzen wäre, um damit etwas Drittes zu beweisen, was man sehr benötigt.  Genau das scheint aber nicht   der Fall zu sein. Noch nie habe ich gehört, dass ein Matematiker so eine Bsis braucht; sie stellt ein abslutes Kuriosum dar ...