Deine Frage lautet: Wie lässt sich die Parameterform ( PF ) einer Ebene in die Koordinatenform ( KF ) umrechnen? Jedermann - einschließlich den Lehrern - säuselt dir hier vom Kreuzprodukt vor - das ungefilterte Kreuzprodukt bietet nur Nachteile. Ein hoch begabter Schüler zeigte mir mal, wie man das mit der Determinante macht. Determinanten entwickeln mit Hilfe der Sarrusregel ist an sich ein Klax; du müsstest es nur mal einüben. Wenn du ein Beispiel ins Forum stellst, rechne ich es dir sogar vor.
Ich beweise jetzt die Determinante - und zwar auf zwei alternativen Wegen. Zunächst mittels allgemeinster Erkenntnisse der AGULA . Und dann gehe ich nochmal direkt über das Kreuzprodukt. In PF lautet deine Ebene
E ( r ; s ) = P0 + r u + s v = P | - P0 ( 1 )
Hierbei sind u und v die beiden Basisvektoren der Ebene. P0 ist ein Punkt aus der Drei-Punkte-Form; u und v ermittelst du ja so
u = P1 - P0 ; v = P2 - P0 ( 2a ) ( 2a )
P sei ein beliebiger Punkt der Ebene
P € E := ( x | y | z ) ( 2b )
Die Umformung in ( 1 ) habe ich wie üblich vermerkt
r u + s v = P - P0 ( 3 )
Was ich jetzt mache, ist ein Vexierspiel mit den Begriffen UnBESTIMMTE und UnBEKANNTE. P in ( 2b ) würdest du doch typisch ansprechen als Unbestimmte; nein sage ich. Wir nehmen eine Reißzwecke oder eine Tube Uhu und kleben P fest. Dann nämlich mutiert ( 3 ) zu einem LGS in den beiden Unbekannte r und s . Und zwar hat die ===> Koeffizientenmatrix ( KM ) von ( 3 ) Format 3 X 2 und ===> Rang 2 . Letzteres, weil ja die beiden Basisvektoren u und v linear unabhängig sind ( Ansonsten würden sie ja keine Ebene definieren. )
Dann aber ist die erweiterte KM von ( 3 ) QUADRATISCH im Format 3 X 3 ; und ihr Rang ist eben Falls gleich 2 - ihre DETERMINANTE VERSCHWINDET .
det ( u ; v ; P - P0 ) = 0 ( 4 )
Warum ist der Rang 2? Das LGS ( 3 ) besagt ja, dass sich die rechte Seite ( P - P0 ) darstellen lässt als Linearkombination von u und v ; wäre dies nicht der Fall, gäbe es ja gar keine Lösung in r und s .
Vorteile der Determinantenmetode:
1) ( 4 ) ist eine einzige ( skalare ) Gleichung; über P in ( 2b ) enthält sie bereits die drei Koordinaten x , y und z . ( 4 ) IST bereits die gesuchte KF der Ebene.
2) Jeder online Matrixrechner macht dir Determinanten - AUCH mit abstrakter Buchstabenalgebra.
Jetzt hatte ich dir aber versprochen, Determinante ( 4 ) aus ( 3 ) direkt über das Kreuzprodukt herzuleiten.
r u + s v = P - P0 | X v ( 3 )
r u X v = ( P - P0 ) X v | ° ( P - P0 ) ( 5a )
Anmerkung. Der s-Term verschwindet, weil ja v X v = 0 Das Gradzeichen bei der Umformung in ( 5a ) soll übrigens " Skalarprodukt " heißen; ich fand es ist leichter zu erkennen als der Punkt.
Was nicht einmal die Studenten lernen: Das ===> Spatprodukt ist nämlich genau das selbe wie die Determinante in Grün.
( a X b ) ° c = det ( a ; b ; c ) ( 5b )
Was ist das, ein Spat? Kleiner IQ-Test:
Quadrat verhält sich zu Rechteck woe Würfel zu? Quader.
Rechteck verhält sich zu Parallelogramm wie Quader zu? Spat.
In das Kreuzprodukt a X b geht ja der Sinus ein; daher gibt es den Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms ( nach Betrag und Orientierung ) an.
Und in das Skalarprodukt ( 5b ) geht über den Kosinus die Höhe des Spates ein; anschaulich ist die Determinante nichts als das Spatvolumen. Dann ergibt sich in ( 5a )
r det ( u ; v ; P - P0 ) = det ( P - P0 ; v ; P - P0 ) = 0 ( 5c )
Ihr wisst, dass eine Determinante schon dann verschwindet, wenn sie zwei gleiche Spalten hat - darum ist die rechte Seite von ( 5c ) gleich Null.
r det ( u ; v ; P - P0 ) = 0 ( 6a )
r = 0 v det = 0 ( 6b )
P in ( 6b ) war aber als beliebig voraus gesetzt; r muss nicht notwendig Null sein - die Determinanter verschwindet.
Anschauliche Deutung; liegt P in der von u und v aufgespannten Ebene, so sind u , v so wie ( P - P0 ) komplanar; das von ihnen aufgespannte Volumen verschwindet.
