Hoch- und Tiefpunkte? Funktion lautet:f(x)= -1/8x^{4} - 1/3x^{3} +1?

Question

Originalfrage mit Überschrift:

X ausklammern wie komme ich auf die Lösung

(-1/2x -1) welche Lösungen kommen raus wie wird gerechnet lg

EDIT: Nachtrag: Es geht um Hoch- und Tiefpunkte. die Funktion lautet:f(x)= -1/8x^{4} - 1/3x^{3} +1.

Comments

Was genau ist die Frage?

Wie sieht (-1/2x -1) genau aus?

Eingegeben hast du mit deiner Klammerung

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(-1%2F2x+-1)

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Es kommt ja als möglich nullstelle 2 raus wie kommt man auf das ergebnis

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Sprichst du jetzt von Nullstelle oder von Tiefpunkt?

Da hat dir Anton nun etwas vorgerechnet, das einen Tiefpunkt an der Stelle x = -2 liefert. Bei Roland befindet sich an dieser Stelle ein Hochpunkt. Kontrolliere beide Rechnungen.

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Lies dir meinen Kommentar unter der Antwort durch und informiere dich mal über den Satz vom Nullprodukt, der idt sehr hilfreich.

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Kontrolle mit Plotter:

~plot~ f(x)= -1/8x^{4} - 1/3x^{3} ; x=-2; x=2; x=0 ~plot~

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-2 ist eine mögliche Extremstelle nach dem man x ausgeklammert hat steht da xhoch 2 (-1/2x-1) wie kommt man auf -2 als Ergebnis

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Du klammerst das x^2 aus. Richtig.
Dann hast du zwei Gleichungen:
x^2=0  das bleibt Null

Dann die 2.
-(2/4)x-1=0.    |+1
-(2/4)x=1.     |:(-(2/4)
x=-2

Nullstellen {-2;0}

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Danke jetzt hab ich gecheckt

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Kein Problem, das war das Ziel meiner Antwort!

Answer 1

Falls es um das Ableiten geht so:

Kettenregel anwenden, wobei:

u(x)=-1      u'(x)=0

v(x)=2(x-0.5)        v'(x)=2*1

(u/v)'(x)=(0*2(x-0.5)-(-1)*2*1)/(((2(x-0.5))^2)

Vereinfachen:

f'(x)=(-(-1)*2*1)/((2(x-0.5)^2)

Löse ((2(x-0.5))^2) auf und multipliziere (-(-1)*2*1) aus

f'(x)=2/(2^2*(x-0.5)^2)

Kürze mit 2 und löse Klammer auf.

f'(x)=1/(2x^2-2x+0.5)

Comments

Es geht um hoch und tiefpunkte die funktion lauet -1/8x4 - 1/3x3 +1

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Okay,

Dann musst du die erste Ableitung bilden; von dieser dann die Nullstellen ermitteln und diese in die Stammfunktion einsetzen!

f(x)=1/8x^4 - 1/3x^3 +1

f'(x)=(1/2)x^3-1x^2

Satz vom Nullprodukt:

((1/2)x-1)*x^2=0

Das heißt x^2=0

1/2x-1=0       |+1

1/2x=1     |(1/2)

x=2

Nullstellen sind also {0;2}

Diese Werte müssen jetzt in die Stammfunktion eingesetzt werden:

f(0)=(1/8)*0^4-(1/3)*0^3+1=1

f(2)=(1/8)*2^4-(1/3)*2^3+1=(1/3)

Das heißt:

Hochpunkt (0|1)

Tiefpunkt (2|(1/3))

Und jetzt gehts für mich ab ins Bett. Gute Nacht Dir.

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Hallo Anton,
Fehlerhinweis
( 0 | 1 ) ist ein Sattelpunkt

Nachweis über Monotonie
f ´( x ) < 0
f  ( x ) = (1/2) *x^3 - x^2 < 0
x^2 * ( 1/2 * x - 1 ) < 0
x^2 ist stets postiv oder 0
1/2 * x - 1 < 0
1/2 * x < 1
x < 2

Für x < 2 ist die 1.Ableitung stets
negativ ( fallend ) oder Null.
Kein Vorzeichenwechsel bei ( 0 | 1 ).
Man müßte noch über x = 0 ( waagerechte
Tangente ) sprechen.

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Fehlerhinweis
f(x)= 1/8x^4 - 1/3x^3 +1.
sondern
f(x)= -1/8x^4 - 1/3x^3 +1.

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Hallo Ripper556,

Denkst du, dass du es selbst schaffst obwohl ich einen Vorzeichenfehler gemacht habe? Wenn nein, ich kann dir gerne nochmal helfen.

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Übrigens hätte ich die Funktion noch eher prüfen müssen:

f(x)=-(1/8)x^4-(1/3)x^3+1

f'(x)=-(2/4)x^3-1x^2+1

Nullstellen der Ableitung finden:

((-(2/4)x-1)*x^2=0       |+1

-(2/4)x=1      |:(-(2/4))

x=-2

Mögliche Extremata bei {-2;0)

Zweite Ableitung bilden; Nullstellen der ersten Ableitung einsetzten:

f''(x)=-(3/2)x^2-(6/3)x

f''(2)=-(3/2)*(-2)^2-(6/3)*(-2)=-2

f''(0)=-(3/2)*0^2-(6/3)*0=0

Da die zweite Ableitung ebenfalls Null ist, hilft hier nur das Vorzeichenwechsel-Kriterium.

Setzte {-1;1} in die erste Ableitung ein und gucke, ob sich das Vorzeichen ändert:

f'(-1)=-(2/4)*(-1)^3-1*(-1)^2+1=-0.5

f(1)=-(2/4)*1^3-1*1^2+1=-1.5

Es gibt keinen Vorzeichenwechsel, dad heißt das bei Null ein Sattelpunkt liegt.

Tief- und Sattelpunkt:

f(-2)=-(1/8)*(-2)^4-(1/3)*(-2)^3+1=(5/3)

f(0)=1

Das heißt:

Tiefpunkt (-2|(5/3))

Sattelpunkt (0|1)

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Anton, beachte:

Flexion von setzen

 

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Nichts lieber als das @Gastaz0815.

Ich denke, dass du dich auf "Setzte {-1;1} in [...] Vorzeichen ändert" beziehst.

Das muss natürlich "Setze" heißen

Answer 2

Es geht um Hoch- und Tiefpunkte. die Funktion lautet:f(x)= -1/8x⁴ - 1/3x³ +1.

Dann ist die erste Ableitung f '(x)=- 1/2·x³- x². Und ihre Nullstellen: - 1/2·x³- x²=0. -x² ausklammern: -x²(1/2·x+1)=0. Jeder Faktor kann 0 sein: x²=0 oder 1/2·x+1=0.Extrema bei x=0 und bei x=-2.

Entscheidung Hoch/Tiefpunkt: f ''(x)=-3/2·x²-2x. Für x=0 nicht entscheidbar mit der zweiten Ableitung.                     (Sattelpunkt, denn f '''(0)≠0). f''(-2)=-6+4<0. An der Stelle x=-2 liegt ein Hochpunkt.

Answer 3

-2 ist eine mögliche Extremstelle nach dem man x ausgeklammert hat steht da xhoch 2 (-1/2x-1) wie kommt man auf -2 als Ergebnis

x^2 * (-1/2x-1) = 0

Entweder ist x^2 = 0. D.h. x = 0 ist eine doppelte Nullstelle der ersten Ableitung von f. D.h. eine Sattelstelle.

oder (-1/2x-1) = 0    | + 1

-1/2 x = 1       | *(-2) 

x = -2 . 

x=-2 ist eine einfache Nullstell der ersten Ableitung von f.  D.h. eine Extremstelle.

Answer 4

Beachte die Möglichkeit, den Faktor vor dem x auszuklammern:

$$ \left(-\dfrac 12 \cdot x -1\right) = -\dfrac 12 \cdot \left(x+2\right) $$Außerdem solltest du deine Fragen präziser stellen...

Answer 5

  Auch  hier gibt es wieder einen Trick; mach doch erst mal den Verschieber weg.

     f  (  x  )  :=  -  1/8  x  ^ 4  -  1/3  x  ³       (  1  )

   

      Sinn und Zweck dieses Schmuddeltricks; von dieser Funktion kannst du sofort die Nullstellen angeben. Zwecks dieses Behufs bring ich auch gleich alles auf ===> primitive Form

     x  ³  (  3  x  +  8  )  =  0       (  2  )

       Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel

   " Eine ( mehrfache ) ungerade Wurzel  ( hier: 3-fache im Ursprung x2;3;4 = 0 )  ist immer ein ===> Terrassenpunkt ( TP ) "

     Und dann finden wir noch x1 = ( - 8/3 )

    Überlegen wir uns die Asymptotik; von Links kommt ein gerades Polynom an sich von ( + °° )  Nur eben; in  ( 1 ) ist der ===> Leitkoeffizient Minus; daher von ( - °° )   D.h.  in dem Intervall ( x1 ; 0 ) erwarten wir ein Maximum .    Da wir aber eben diesen TP haben, kommt zwischen Extremum und TP stets ein weiterer WP .

       (  - 8/3   )  <  x  (  max  )  <  x  (  w  )  <  0         (  3  )

   Die Ableitung bilde ich durch ===> logaritmisches Differenzieren, eine Sonderform des ===> impliziten Differenzierens.   Ihr wisst, dass sich beim Logaritmieren die Rechenstufe um eins vermindert; genau dieser Trick wurde durch Unterdrückung des Offsets erst ermöglicht.

    ach übrigens; die Ausrede

   " Ich kann noch keinen Logaritmus ableiten, das war noch nicht dran; das darf ich noch nicht wissen "

    gilt ausnahmsweise nicht. Aus dem Telekolleg erfuhr ich, dass Logaritmus DEFINIERT ist als Aufleitung der Normalhyperbel; eine Definition kann man nicht begründen.

   wir logaritmieren ( 2 )

     ln  (  y  )  =  3  ln  (  x  )  +  ln  (  3  x  +  8  )     (  4a  )

    y  '  /  y  =  0  =  3 / x  +  3 /  (  3  x  +  8  )     (  4b  )

      4  x  =  (  -  8  )  ===>  x  =  (  -  2  )      (  4c  )

    Wie bilden wir die 2. Ableitung?  Eine 3-fache Nullstelle der Ausgangsfunktion ist sicher noch eine doppelte der ersten Ableitung; dazu noch unser gefundenes Maximum.

     z  :=  y  '  =  x  ²  (  x  +  2  )          (  5a  )

      ln  (  z  )  =  2  ln  (  x  )  +  ln  (  x  +  2  )      (  5b  )

     z  '  /  z  =  0  =  2 / x  +  1 / ( x  +  2  )    ===> x ( w ) = ( - 4/3 )   ( 5c )