Funktionsgleichung aufstellen anhand von 3 Punkten?

Question

Ich habe folgende Punkte gegeben:

$$P_1(-1|-4) \quad P_2(1|4) \quad P_3(2,5|-0,5)$$

Und soll mit denen die Funktionsgleichung bestimmen, wie muss ich da vorgehen?

Mein Ansatz:

P(x|y): y=ax^2+bx+c

I   -4=a*(-1)^2+b*(-1)+c

II  4=a*1^2+b*1+c

III -0.5=a*2.5^2+b*2.5+c

Wie löse ich dieses Gleichungssystem?

Answer 1

Lineares Gleichungssystem ( mit 3 Unbekannten )
a - b + c = -4
a + b + c =4
6.25a + 2.5b + c = -0.5

Einfache Lösung
a - b + c = -4
a + b + c =4  | abziehen
---------------
a - b + c - ( a + b + c ) = -4 -4
-2b = -8
b = 4

a + b + c =4
6.25a + 2.5b + c = -0.5

a + 4 + c =4
6.25a + 2.5*4 + c = -0.5

a + c = 0
6.25a + 10 + c = -05

a + c = 0
6.25a + c = -10.5

Das Verfahren funktioniert immer

Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 1.Gleichung
Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

a + c = 0  | * 6.25
6.25a + c = -10.5 | * 1

6.25 a + 6.25c =,0
6.25a + c = -10.5 | abziehen
---------------------
5.25c = 10.5
c = 2

Comments

Hallo georgborn,

Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 1.Gleichung
Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

a + c = 0  | * 6.25
6.25a + c = -10.5 | * 1

6.25 a + 6.25c =,0
6.25a + c = -10.5 | abziehen
---------------------
5.25c = 10.5
c = 2

Das verstehe ich gar nicht... Wie kommst du den von den drei Gleichungen auf einmal auf:

a+c=0

und wie berechnet man a und b?

---

Kannst du meine Rechnung bis zum
ersten Ergebnis von b = 4
noch nachvollziehen ?

Dann einsetzen in
a + b + c = 4
a + 4 + c = 4   | -4
a + c = 0

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten ergeben sich
a + c = 0
6.25a + c = -10.5

---

Ich verstehe gar nicht was jetzt immer funktioniert und was das einfache ist.

---

Ich will wissen, wie das immer funktioniert.

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Mit Hilfe des von mir beschrieben Verfahrens
kannst du aus
3 Gleichungen mit 3 Unbekannten
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten machen
und dann
1 Gleichung mit 1 Unbekannten machen.

Neben diesem Verfahren ( Additionsverfahren )
gibt es noch das Einsetzverfahren und den
Gaußchen Algorithmus.

Und jetzt bitte mach aus
3x + 4y = 7
5x + 99y = 6
1 Gleichung mit 1 Unbekannten
und berechne dann diese Unbekannte.

---

Achso, ja das kann ich.

3x+4y=7     |*5

5x+99y=6   |*3

15x+20y=35

15x+297y=18

-277y=18.    |:(-277)

y≈-0.065

Aber wie mache das mit 3?

Muss ich da dasselbe wie hier machen und habe dann am Ende die Gleichung aus der I+II als eine und die II und kann es dann lösen?

---

15x+20y=35
15x+297y=18
-----------------
Falsch
-277y= 18
Sondern
-277y= 17

y = -0.0614

Diesen Wert in eine der Ausgangsgleichungen
einsetzen
3x + 4y = 7
3x + 4 * -0.0614 = 7

x = 2.4152

Damit steht das Ergebnis fest.

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Sagen wir mal ich habe die Punkte:

P1(3|4), P₂(-2|5) und P₃(-8|6)

Wie bestimme ich da jetzt die Funktionsgleichung. Ich erstelle die 3 Gleichungen und dann? Darum gehts mir doch. Kannst du das vielleicht mal vormachen?

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Anton : das haben wir in dieser Aufgabe
doch schon gemacht oder nicht ?
Jetzt einmal noch mit deiner Beteilung

9*a + 3*b + c = 4
4*a - 2*b + c = 5
64*a - 8*b + c = 6

1.Schritt
9*a + 3*b + c = 4  | * 4
4*a - 2*b + c = 5  | * 9

4*a - 2*b + c = 5  | * 64
64*a - 8*b + c = 6  | *4

Die Gleichungen nach dem Multiplizieren
abziehen, dann bleiben 2 Gleichungen
mit 2 Unbekannten übrig.

Dann bei Bedarf wieder melden.

---

P_1(3|4), P_(2)(-2|5) und P_(3)(-8|6)

P(x|y): y=ax^2+bx+c

Gleichungssystem aufstellen:

4=a*3^2+b*3+c

5=a*(-2)^2+b*(-2)+c

6=a*(-8)^2+b*(-8)+c

Da sind wir einverstanden wenn ich ausmultipliziere.

"Gleichung I. von II. abziehen"

I. 9a+3b+c=4     |*4

II. 4a-2b+c=5      |*9

I. 36a+12b+4c=16

II. 36a-18b+9c=45

30b-5c=-29

Und jetzt glaube ich, dass ich noch die II von der III abziehen muss:

II. 4a-2b+c=5.      |*32

III. 64a-8b+c=6.   |*2

128a-64b+32c=160

128a-16b+2c=12

-48b+30c=12

So jetzt haben wir doch zwei Gleichungen mit zwei Unbrkannten:

30b-5c=-29.

-48b+30c=12

b=-(27/22)

c=-(86/55)

Und dann a suchen? Muss ich dafür b oder c in eine der Stammgleichungen einsetzen? So habe ich das bisher verstanden.

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Richtig.
Du setzt b und c in eine Ausgangsgleichung ein
und berechnest a.

---

9a+3*(-(27/22))+(-(86/55))=4.      |-3*(-(27/22))

9a+(-(86/55))=4-3*(-(27/22)).       |-(-(86/55))

9a=4-3*(-(27/22))-(-86/55)).    :9

a=(4-3*(-(27/22))-(-86/55)))/9

a=(113/110)

Also haben wir

a=(113/110)

b=-(27/22)

c=-(86/55)

Stimmt das?

Jetzt muss ich ja einsetzten:

f(x)=ax^2+bx+c

f(x)=(113/110)x^2-(27/22)x-(86/55)

Richtig?

---

Mit den Gleichung 2 und 3 kannst du
eine sogenannte Probe machen und dich
damit von der Richtigkeit deiner Lösung
überzeugen.

Zur Kontrolle oder zur Berechnung von
linearen Gleichungssystem / Steckbriefaufgaben

Du  gehst nach
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

und gibst im Feld
" Eigenschaften eingeben "

f ( 3 ) = 4
f (-2) = 5
f (-8) = 6

ein ( Die 3 obigen Zeilen kopieren und dort einfügen )

und drückst die Schaltfläche " berechnen ".
Dann wird dir die Funktion berechnet.

Bei den Ableitungen mußt du das Zeichen "  '  "
auf der Taste rechts neben dem " Ä " verwenden. " f ' "

f ( x ) = -1/330*x^2 - 13/66*x + 254/55

Die Lösung wurde überprüft.

Bei dir fängt der Fehler an bei
128a-64b+32c=160
128a-16b+2c=12 | abziehen
--------------------
falsch
-48b+30c=12
richtig
-48b+30c=148

---

Ah, okay! Jetzt stimmts bei mir. Danke für deine Hilfe, ifh werde noch ein paar weitere durchrechnen. Danke für den Rechner, um es zu überprüfen.

Answer 2

I   -4=a*(-1)^2+b*(-1)+c

II  4=a*1^2+b*1+c

III -0.5=a*2.5^2+b*2.5+c

gibt

I   -4=a  -  b   +c

II  4=a  +b    +c

III -0.5=6,25a+2.5b+c

I minus II gibt   - 8 =  -2b  ==>   b = 4

I + II  gibt   0 = 2a + 2c   also   a = - c

Das beides in III einsetzen

- 0,5 = - 6,25c + 10 + c

-10,5 = - 5,25c   ==>   c = 2  also   a = -2

Comments

Ist das Verfahren bei egal welchen Punkten immer analog? Außer natürlich das man die Vorzeichen beachten muss?

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Hier ist es besonders einfach wegen 1 und -1 bei den gegebenen Punkten.

Ansonsten mit Gauss-Algorithmus.

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Okay, dann werde ich mir den Gauß-Algorithmus mal näher unter die Lupe nehmen.

Danke für die Antwort.

Answer 3

  Bei einer Parabel gibt es immer den Trick mit dem ===> Mittelwertsatz ( MWS )  der Differenzialrecnung.

   Betrachten wir die Kurvensehne von a nach b ;  dann gibt es ein x0 in dem Intervall ( a ; b )  , eben den Mittelwert im Sinne des MWS , so dass die Tangente in x0 der Sehne parallel läuft.

   Sagen wir F ist von HD  60 kleine Männer entfernt und du hast eine Stunde Fahrzeit. Dann spielt es keine Rolle, ob du ein Raser bist oder in einen Stau geraten bist. Irgendwo an der Strecke zeigt dein Tacho aktuell Tempo 60 .

    Im Allgemeinen weißt du erst mal nicht, wo genau sich dieses x0 versteckt.  Für Parabeln gilt aber wörtlich die Mittelwertbeziehung

       x0  =  1/2  (  a  +  b  )      (  1  )

      Weshalb beschreiten wir überhaupt diesen Umweg? Weil wir beim Ableiten bereits eine der drei Unbekannten verlieren.Die Sehne von P1 nach P2 hat Steigung 4

      f  (  x  )  =  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0     (  2a  )

      f  '  (  x  )  =  2  a2  x  +  a1           (  2b  )

       Gemäß  ( 1 ) verläuft diese Sehne parallel der Tangente in x0 = 0  und damit  a1 = 4  aus ( 2b )

   Die Sehne von P2 nach P3 hat Steigung ( - 3 )  ; ich hab das grad mal schnell im Kopf gemacht. Oder sind da ernsthafte Schwierigkeiten?  x0 wird jetzt 7/4 ; eingesetzt in ( 2b ) ergbt das  a2  =  (  -  2  )

   a0 rechnest du direkt nach in ( 2a ) , indem du P2 einsetzt; wir finden a0 = 2

     f  (  x  )  =  -  2  x  ²  +  4  x  +  2      (  3  )