Gleichungssystem Hilfe Gauß.x + 2y =0; -2x - y + ß z = 1 ; x + 5 y - 4 z = γ

Question

Für welche beta und gamma hat das LGS a) genau eine, b) keine, c) unendlich viele Lösungen?

     x  +  2  y            =  0    
  -2  x  -  y  +  ß  z  =  1   
      x  +  5  y  -  4  z  =  γIch komme leider bei der Rechnung nicht weiter, ich weiß nicht wo ich genau anfangen soll. Freue mich über eure Hilfe !! !

Comments

Die zweite Zeile wurde falsch übertragen.

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Kannst du das noch korrigieren? / Als EDIT in der Frage anmerken?

Answer 1

  Oooh freu !    Hey Judith; ei gude wie?

    Ich beglücke dich mit meinem Spezial Habakuk Divisionstrick. Bei einem LGS hast du immer Sonderlösung des inhomogenen LGS Plus Kern des homogenen.  Notieren wir erst mal die homogene Lösung; one after the other .

        x  +  2  y             =  0     |   :  z            (  1a  )

   2  x  +       y  -  ß  z  =  0    |  :  z            (  1b  )

       x  +  5  y  -  4  z  =  0     |  :  z            (  1c  )

     Mein Divisionstrick ist immer anwendbar, wenn der Parameter ß nur in einer Spalte der Koeffizientenmatrix ( KM ) vorkommt so wie hier.  Ich hatte durchaus schon kompliziertere Anfragen;  es könnte sich z.B. auch um eine Funktion von ß handeln.  Auch werde ich noch mit der Situation fertig, dass ß in sämtlichen drei Zeilen der KM auftritt - sogar jedesmal mit einer anderen Funktion verknüpft.

   Wir erschlagen gleich drei Probleme auf einen Streich:

   1) Die Anzahl der Unbekannten wird verringert auf 2 ; zwei Unbekannte gelten als beherrschbar.

     2)  Der Parameter ß wird aus der KM heraus geschmissen.

    3) Trotz der Division bleibt das GS linear, weil ja rechts Null steht; ich führe noch neue Unbekannte ein

         X  :=  x / z  ;  Y  :=  y / z       (  2  )

     In den Unbekannten ( 2 )  lauten ( 1a-c )  ( Die Nummerierung a-c  behalte ich konsequent bei, damit du weißt, welche Gleichungen zusammen gehören )

        X  +  2  Y  =   0          (  3a  )

   2  X  +        Y  =  ß         (  3b  )

       X  +   5   Y  =  4         (  3c  )

    Das Subtraktionsverfahren ( 3c ) - ( 3a ) führt auf

    Y  =  4/3  ===>  X  =  (  -  8/3  )      (  4a  )

    Es ist üblich, den Kernvektor ===> primitiv zu notieren.

     Kern  =  (  -  8  |  4  |  3  )       (  4b  )

    Wann ( 3a-c ) singulär wird, erfährst du durch Einsetzen von ( 4a ) in ( 3b )  ;  ß  = ( - 4 )

    Rein teoretisch ist Division durch z in ( 1a-c ) nur zugelassen,  wenn es keine nicht triviale Lösung für z = 0 gibt. Jedoch die ganze Lösungsstrategie hinter  ( 3a;c ) ist äquivalent zu der Behauptung,  dass für z = 0  ( 1a;c ) ein linear unabhängiges LGS bilden.

  Doch nun zu dem ursprünglichen inhomogenen LGS ; damit ist eindeutige Lösbarkeit gewährleistet, so lange ß nicht Minus 4 wird; das wird jetzt der einzige Fall, der noch intressiert.

       x  +  2  y            =  0                         (  5a  )

  2  x  +      y  +  4  z  =  (  -  1  )                (  5b  )

      x  +  5  y  -  4  z  =  µ                       (  5c  )

    Hier gibt es rein zufällig einen sehr bequemen Weg, dieses z abermals los zu werden;  setze

          w  :=  x  +  2  y  =  0        (  6a  )

       in  (  5a )   Additionsverfahren  ( 5b ) + ( 5c )

      3  w  =  µ  -  1  =  0  ===>  µ  =  1     (  6b  )

    Natürlich sind ( 5a-c ) linear abhängig ( vom Rang 2 )  Sonst bliebe ja unverständlich, wieso wir durch Addition von ( 5b ) und ( 5c ) die Unbekannte w reproduzieren.  Aber ( 6b ) müssen wir umgekehrt lesen;  es FOLGT nicht, dass µ = 1 sein muss, sondern für µ ungleich Eins besitzt das LGS keine Lösung.

Answer 2

Hallo Judith,

schreibe das LGS  in Form einer erweiterten Koeffizientenmarix (der Lösungsvektor ist fett geschrieben):

⎡  1    2    0    0 ⎤
⎢ -2   -1   β    1 ⎥
⎣  1    5   -4    γ ⎦

Jetzt erfolgen die Gauß-Umformungen ( Operation steht jeweils neben der neuen Zeile):

⎡ 1  2  0   0 ⎤
⎢ 0  3  β   1 ⎥   Z2 + 2Z1
⎣ 0  3  -4  γ ⎦  Z3 - Z1

⎡ 1   2      0      0  ⎤
⎢ 0   3      β      1  ⎥
⎣ 0   0   -β-4   γ-1 ⎦  Z3 -Z2

(i) 

 für  -β-4 ≠ 0 , also  β ≠ -4   gibt es genau eine Lösung 

     x₃ = (-β-4) / (γ-1)  ,  x₂  und x₃  ergeben sich durch Einsetzen in die jeweilige Zeile. 

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  für β = -4   hat man in der 3. Zeile   0 = γ-1  ,  das ergibt

(ii)

keine Lösung  für  β = -4   und  γ ≠ 1

(iii) 

unendlich viele Lösungen für β = -4  und  γ = 1

In diesem Fall hat man

⎡ 1    2      0      0  ⎤
⎢ 0    3      -4     1  ⎥
⎣ 0    0      0       0 ⎦ 

Z3  →   x₃ = c  mit beliebigem c∈ℝ

Z2  →   x₂ = 1/3 · (1 + 4c)  = 1/3 + 4/3 c

Z1  →   x₁  =  - 2 · ( 1/3 + 4/3 c)  = - 2/3 - 8/3 c 

L = { (- 2/3 - 8/3 c  ,  1/3 + 4/3 c  ,  c ) ∈ ℝ³ |  c∈ℝ }

Gruß Wolfgang

Comments

Danke !! Aber wie komme ich auf Z3, Z2 und Z1, ich verstehe nicht genau, was Sie hier gemacht haben ?

Z3  →  x3 = c  mit beliebigem c∈ℝ

Z2  →  x2 = 1/3 · (1 + 4c)  = 1/3 + 4/3 c

Z1  →  x1  =  - 2 · ( 1/3 + 4/3 c)  = - 2/3 - 8/3 c

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In der letzten Matrix stehen drei Zeilen, die jeweils einer Gleichung entsprechen:

in Z3:    0 * x₃ = 0  , x₃  ist also eine beliebige    Zahl, die wir c nennen.

in Z2:     3x₂ - 4x₃ = 1   →  x₂ = (1 + 4x₃ ) / 3

in Z1:     x₁ + 2x₂ = 0  →  x₁ =  - 2x₂

Answer 3

Hallo

Gauss: 2.Zeile +2*1.Z;   3.Z-1. Z

 so fängt man immer an in der 2 ten und dritten Zeile 0 in der ersten Spalte erzeugen.

dann Null in der dreitten Zeile erzeugen in dem man die neuen 2 ten und dritten Zeilen addiert.

jetz die verschiedenen Möglichkeiten für gamma bestimmen.

gruß lul