f(x) Treibstoff in Flugzeug nach Entfernung x. Differentialgleichung f'(x) = -4*f(x) - 8 mit f(0) = 1.

Question

Ursprüngliche Überschrift: Wie komme ich von dieser Ableitungsfunktion auf die normale Funktion?

Ursprünglicher Text: Ich habe diese Funktion gegeben und soll nun die Lösung der Gleichung finden. Wie macht man so etwas ?

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Das ist eine Differentialgleichung.

Answer 1

 

          f '(x)  =  -4 · f(x) - 8

          f '(x)  =  -4·( f(x) + 2 )     Setze: h(x) := f(x) + 2

          h'(x)  =  -4 · h(x)

           →     h(x)  =  c · e^-4x

           →      f(x)  =  c · e^-4x - 2

     mit f(0) = 1   →  c - 2 = 1   →  c = 3

     und damit  f(x) = 3 · e^-4x - 2

Gruß Wolfgang

Comments

Wolfgang vielen Dank für deinen Kommentar. Allerdings muss ich sagen, dass ich mich mit diesem Thema gar nicht auskenne, weshalb sich mehrere Fragen bei mir ergeben.

1. Wieso wird -8 durch 2 ersetzt.

2. Wie wird h(x)= c · e^{-4x}

Danke dir schonmal :)

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Wieso wird -8 durch 2 ersetzt.

Dazu kann ich dir was sagen:

er hat jeweils die -4 ausgeklammert. Beachte die Klammern, die er gesetzte hat.

-4*(f(x)+2)=-4f(x)-8

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wenn du bei  -4 f(x) - 8  die  -4 ausklammerst,  hast du  -4 · ( f(x) + 2 )

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der Term  u' · e^u   hat den allgemeinen Stammfunktionsterm  c · e^u  mit  c∈ℝ

            hier:  u = -4x  und u' = - 4

oder:

h'(x) = -4 h(x)           [ h(x) = f(x) + 2 > 0 ]

h'(x) / h(x) = -4

Integrieren:

ln( h(x) ) = -4x + k

  h(x) = e^-4x+k =  c · e^-4x