Wie leite ich 1/(x^2+2*x*i*y-y^2) ab?

Question

Die Funktion f(x,y) = 1/(x^2+2*x*i*y-y^2) ist gegeben und ich solle sie nach x,y und  z (= x + i*y ) ableiten.

Ich finde auf Wolframalpha zwar Lösungen, aber will es natürlich auch nachvollziehen können...

Answer 1

Quotientenregel oder vielleicht einfacher
f(x,y) = 1/(x^2 + 2*x*i*y - y^2)
=
f(x,y) = (x^2 + 2*x*i*y - y^2) ^{-1}
f ´x = -1 *   (x^2+2*x*i*y-y^2) ^{-1-1} * ( 2x + 2*i*y )

f ´x = -1 *  (x^2+2*x*i*y-y^2) ^{-2 } * ( 2x + 2*i*y )
oder
f ´x = - ( 2x + 2*i*y ) / (x^2+2*x*i*y-y^2) ^{2 }

Comments

- ( 2x + 2*i*y ) / (x²+2*x*i*y-y²)² 

= -2 / (x+iy)³

Answer 2

f(x,y)=1/(x+iy)^2=1/z^2

Bekommst du jetzt das ableiten hin?

Answer 3

z = x + iy

f(x,y) = 1 / (x² + 2·x·i·y - y²)  =  1 / (x + iy)² = 1/z² 

Im Folgenden bedeutet der Index die jeweils partielle Ableitung nach dieser Variablen.

f_x = -2/z³ · z_x  = -2/z³ = -2 / (x + iy)³

f_y = -2/z³ · z_y  = -2/z³ · i  = -2i / (x + iy)³

Gruß Wolfgang