Extremwertaufgabe; Topf mit Volumen

Question

Es soll ein offener drehzylindrischer Kochtopf hergestellt werden, der 8m^3 wasser fasst. Wie sind Durchmesser und Höhe des Behälters zu wählen, damit zur Herstellung möglichst wenig Material verbraucht wird?

Hauptbedingung: π*r^2+2* π*r*h

Nebenbedingung:  π*r^2*h=8 ; h= 2.55/r^2

Einsetzen: v(r):= 3.14*r^3+16/r

Ableitung null setzen -> r= 1.37

Was mache ich falsch? Durchmesser ist ja das Doppelte von r & die Lösung für den Durchmesser wäre: 4* 3te Wurzel aus 1/ π also 1.27

Answer 1

Ganz allgemein

3. Ein oben offener zylindrischer Behälter soll bei gegebenem Volumen eine möglichst kleine Oberfläche haben

V = pi·r^2·h --> h = V / (pi·r^2)

O = pi·r^2 + 2·pi·r·h
O = pi·r^2 + 2·pi·r·(V / (pi·r^2)) = pi·r^2 + 2·V/r
O' = 2·pi·r - 2·V/r^2 = 0 --> r = (V/pi)^{1/3}

h = V / (pi·r^2) = V / (pi·((V/pi)^{1/3})^2) = (V/pi)^{1/3} = r

Comments

Die Formel der Oberfläche eines offenen Drehzylinders ist doch nicht 2* π*r^2 + 2* π*r*h, sondern  π*r^2+ 2* π*r*h. Oben offen heißt ja, dass es die obere Schicht nicht gibt, oder?

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Sehr richtig. Also ist meine Lösung oben für die Tonne :)

Ich verbessere sie später.

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Passt schon, bin schon drauf gekommen, dankeschön :D

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War ja nicht so wild. Überall nur den Faktor 2 wegnehmen.

Hab ich eben noch verbessert.

Answer 2

Dein r von 1.37 ist richtig.

o = π*r^2+2* π*r*h
o = π*r^2+2* π*r*2.55
o = π*r^2 + 16/r
o ´( r )  = 2 * π * r - 16/r^2
Extremwert
2 * π * r - 16/r^2 = 0
2 * π * r = 16/r^2 | * r^2
2 * π * r ^3 =16
r^3 = 16 / ( 2 * π )
r^3 = 1.546  | hoch 1/3
r = 1.37