Ableitung Kettenregel h(x) = g(f(x))

Question

Hallo liebe Mathematiker-Genuis,

ich habe eine Frage bezüglich einer Ableitung.

h(x) = g(f(x))

f(x) = 7x^4 + 5
g(x) = 1/(2x^2+1)

Könnte mir jemand den Rechenweg zeigen wie ich auf die Lösung von h'(x) komme, ich weiß leider nicht wie ich weiter machen muss (die Formel für die Kettenregel kenne ich, aber nicht wie ich es einsetzen muss)?

euer Max

Answer 1

Hallo Max,

das geht so:

$$h(x) = g(f(x)) = \frac{1}{2\left( f(x) \right)^2+1} = \frac{1}{2\left( 7x^4+5 \right)^2+1} $$

dann ist die Ableitung \(h'(x)\)

$$h'(x) = \frac{\text{d} g}{ \text{d} f} f'(x) = \frac{-4\cdot f(x)}{\left( 2 \left( f(x) \right)^2 + 5\right)^2} (28x^3) = \frac{-112 (7x^4+5) x^3}{\left( 2 \left( 7x^4+5 \right)^2 + 5\right)^2}$$