Bruch durch Wurzel ableiten

Question

Hallo mal wieder :D ,

ich habe diese Aufgabe:

diese würde ich gerne ableiten. Ich habe mir erstmal überlegt welche Regeln ich hierzu brauche, ich bin zu dem Entschluss gekommen: Quotientenregel und Kettenregel. Wenn ich es nach diesen Regeln machen würde würde ich ja 1 ableiten und würde auf 0 kommen. Und dann würde ich kurz gesagt irgendwann 0 / irgendwas teilen und das wäre wieder 0. 

Ich habe diese Rechnung mal im Internet überprüft. 

Ich verstehe leider nicht wieso direkt am Anfang -1/2 vorkommt.

Könnte mir jemand einen verständlicheren Rechenweg aufzeigen?

, freue mich auf eure Antworten!

Euer Max.

Answer 1

Hi,

da der Zähler hier so einfach ist, würde ich die Quotientenregel nicht nutzen, sondern den Bruch umschreiben.

Es ist doch

$$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{(x^2+1)^{\frac12}} = (x^2+1)^{-\frac12}$$

Dabei haben wir die Wurzel in Potenzschreibweise überführt und den Bruch nach 1/a = a^-1 umgeschrieben.

Den Rest kannst Du nun aus der Lösung entnehmen.

In der zweiten Zeile wurde nun das -1/2 davor geschrieben, da wir den Exponenten ja voranschreiben. Dann die Wurzel selbst, wobei der Exponent um 1 erniedrigt wird und ganz hinten haben wir die innere Ableitung (Kettenregel) (das d/dx steht für "muss noch abgeleitet werden".

3. Zeile: Dann wurden die ersten beiden Faktoren wieder in den Nenner geschrieben und im Zähler wird die Kettenregel Schritt für Schritt durchgeführt.

Ist dann alles klar?

Grüße

Answer 2

f(x) = 1/√(x^2 + 1) = (x^2 + 1)^{- 1/2}

Ableitung mit Kettenregel

f'(x) = - 1/2·(x^2 + 1)^{- 3/2}·[x^2 + 1]' = - 1/2·(x^2 + 1)^{- 3/2}·2·x = - x·(x^2 + 1)^{- 3/2}
f'(x) = - x/√((x^2 + 1)^3)

Du solltest sehen das - 1/2 aus der Potenzregel kommt, wenn z^{- 1/2} abgeleitet wird. Wobei z dann eine innere Funktion ist.