Wie weist man diese rekursive Folge nach?

Question

a_0 = 1

a_n+1 = a_n + 2n

Zeigen, dass an = n^2-n+1 ist..

Wie geht man da vor´?

Answer 1

Zeige dass es für n = 0

a_0 = 0^2 - 0+ 1 = 1 --> stimmt

Zeige wenn es für n gilt, dass es auch für n + 1 gilt

a_n+1 = a_n + 2n

(n + 1)^2 - (n + 1) + 1 = n^2 - n + 1 + 2n --> stimmt

ok. beim letzten habe ich es mal mit wolframalpha gecheckt ob es richtig ist. aber das solltest du auch recht einfach machen können. achte nur auf die benutzung der binomischen formel.

Comments

Genau das hatte ich auch raus, aber ich frage mich nur inwiefern das beweist, dass das richtig ist.. Ist es dann nicht zusammengesetzt( a_n+ a_n+1) und ist es nur so zu beweisen?

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Das ist ein Beweis über vollständige Induktion.

D.h. man zeigt das

a_0 richtig ist

und wenn a_0 richtig ist das dann auch a_1 richtig ist

und wenn a_1 richtig ist das dann auch a_2 richtig ist

und wenn a_2 richtig ist das dann auch a_3 richtig ist

und so hat man es letztendlich für alle n gezeigt.

Vollständige Induktion bietet sich sehr oft an wenn du etwas für alle n beweisen sollst.

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Und damit darf man auch eine rekursive Folge nachweisen?

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Beim letzten sieht man aber allerdings erst, wenn man die n Varibalen nicht zusammenfügt, dass es richtig ist(eindeutig)