Metrischer Raum mit offenen disjunkten Teilmengen

Question

ich konnte bisher alle Aufgaben meines Aufgabenblatts lösen, nur bei dieser bin ich wirklich ratlos, doch die Aufgabe gibt wirklich viele Punkte. Also ich hoffe auf eure Unterstützung

Aufgabe:

Sei X ein metrischer Raum mit Abstandsfunktion ρ. Sei weiter x₀ ∈ X
und ε eine positive reelle Zahl.
(a) Zeigen Sie, dass die Kugelumgebung Kε(x₀) := {x ∈ X | ρ(x,x0) < ε} eine offene Teilmenge von X
ist.
(b) Beweisen Sie, dass der Raum X die Hausdorffeigenschaft besitzt: Zu je zwei verschiedenen Punkten
x,y∈X existieren offene disjunkte Teilmengen U und V von X mit x∈U und y∈V.
(c) Zeigen Sie, dass der Durchschnitt endlich vieler offener Teilmengen von X wieder offen ist.
(d) Zeigen Sie, dass der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Teilmengen von X wieder abgeschlossen ist.

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a) findest du hier: https://www.mathelounge.de/535442/metrischer-raum-mit-abstandsfunktion

Vielleicht ist der Rest der Frage auch schon irgendwo?

Answer 1

(a)  Sei x₁ ∈ K_ε(x₀) und ε₁ = ρ(x₀, x₁). Ferner sei δ > 0, so dass δ < ε-ε₁ ist. Zeige, dass K_δ(x₁) ⊆ K_ε(x₀) ist.

(b) Verwende (a) um geeignete Umgebungen um x und y zu finden.

(c) Vollständige Induktion über die Anzahl der Teilmengen. N.B. für den Durchschnitt gilt das Assoziativgesetz.

(d) Es ist ∩X_i = X \ ∪ (X\X_i). Zeige, dass die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen offen ist.

Comments

Bei der a) was bringt es mir zu zeigen das Kd eine Teilmenge von Kε ist

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Wär es möglich nur zu dieser a) einen kompletten kleinen Beweis zu schicken , damit ich damit weiterarbeiten kann.

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Definition (Innerer Punkt). Sei (X,ρ) ein metrischer Raum und M ⊆ X. Ein Element m ∈ M heißt innerer Punkt von M, wenn es ein ε > 0 gibt, so dass {x ∈ X | ρ(x, m) < ε} ⊆M ist.

Definition (Offene Menge). Sei (X,ρ) ein metrischer Raum und M ⊆ X. M heißt offen, wenn jedes m∈M innerer Punkt von M ist.

Bei der a) was bringt es mir zu zeigen das Kd eine Teilmenge von Kε ist

Wenn K_δ(x₁) ⊆ K_ε(x₀) ist, dann ist x₁ innerer Punkt von K_ε(x₀) (vgl. Def. Innerer Punkt).

Weil x₁ beliebig in K_ε(x₀) gewählt wurde, ist dann jedes Element von K_ε(x₀) innerer Punkt von K_ε(x₀). Also ist dann K_ε(x₀) offen (vgl. Def. Offene Menge).

Wär es möglich nur zu dieser a) einen kompletten kleinen Beweis zu schicken ...

Sei m ∈ K_δ(x₁). Verwende ρ(x₀, x₁), ρ(x₁, m) und die Dreiecksungleichung um zu zeigen, dass ρ(x₀,m) < ε ist.

Answer 2

  Also ich habe Topologie gelernt aus dem  "  Franzbändchen  "  ( Taschenbuch Franz / Frankfurt. )  Und du?

   Weil; macht Internet dumm?  Überall steht zu den Axiomen des metrischen Raumes, die Abstandsfunktion p ( x ; y ) sei nicht negativ.  Leuchtet anschaulich erst mal so ein, als müsste da jemand " verhindern "  , dass sie negativ wird.

   Schau mal in Wiki

   0  =  p  (  x  ;  x  )  <  =  p  (  x  ;  y  )  +  p  (  y  ;  x  )    (  Dreiecksungleichung           (  1a  )

    0 = p ( x ; x )  <  =  2  p  (  x  ;  y  )     (  Symmetrie )     (  1b  )

    Ich selbst bin ein absoluter Fan der Nonstandard Analysis ( NSA ; IST )   von  ===>  Edward Nelson;  Lehrbuch von Alain Robert bei Wiley.  Wäre die Frage, ob du dich darauf einlassen kannst.

   Folgende Konventionen;   immer wenn wir  NSA  betreiben,  möge die Variable  " klein a  "  nur dann notiert werden als " groß A  "  , wenn ihr Wertebereich auf Standardwerte beschränkt wird.  ( NSA   ist  " case sensitive " )  Und griechische Buchstaben mögen inf(initesimalen)  Größen vorbehalten bleiben.

    Als Kriterium für Offen werde ich nehmen:

   Sei T ein metrischer Raum.  O ist offen genau dann, wenn

        X  €  O  ;  P  (  X  ;  y  )  =  inf  ===>  y  €  O       (  2  )

     Beachte  hier die Groß-Kleinschreibung;  in  Worten: Jede inf Umgebung liegt ganz in O .

   Dass O Standard sein muss, ist wesentlich.  Einfaches Gegenbeispiel;  das reelle Intervall ( €  ;  3 €  )  , die offene €-Kugel um 2 €   Z.B. das element 4 € ist nicht enthalten in diesem Intervall;  ich werde jenen Satz aus dem Fischerlexikon nie vergessen

   "    Der Begriff des Infinitesimalen fand keinen Einzug in die Analysis, weil er sich nicht Sinn voll axiomatisieren lässt ... "

   Siehe hierzu Alain robert, dessen Darlegungen ich hier übrigens weitest  gehend folge.

    Jetzt zur a) , der Kugel. Was ist zu zeigen?   Gemäß dem Kriterium gehen wir aus von einer Standardkugel  K . Nelsons wichtigstes Axiom ist  ===>  Transfer;  das "  T  "  von  "  IST  "

   Ganz triviale Transferschlüsse; Mittelpunkt X so wie Radius R  einer Standardkugel sind natürlich Standard.

   (   Standard stellt man sich am besten vor als DIN Normteile. ) 

    Sei Y €  K beliebig und P ( Y ; z )  = inf .  wir müssen zeigen, dass z in K liegt;  sein Abstand von X  also kleiner  R ausfällt.

     P  (  X  ;  Y  )  =:  D  <  R       (  3a  )

     Dreiecksungleichung

    P  (  X  ;  z  )  <  =  P  (  X  ;  Y  )  +  P  (  Y  ;  z  )  =     (  3b  )

       =  D  +  €        (  3c  )

    Angenommen die Bedingung ist verletzt;  z ist weiter von X entfernt als R  . 

    R  <  =  P  (  X  ;  z  )  <  =  D  +  €        (  3d   )

    R  -  D  <  =  €        ;  Widerspruch       (  3e  )

   Denn   auf der linken Seite steht Standard positiv; und das kann ja wohl nicht kleiner sein als inf .

      Bürgerliche Beweise enden  mit " wzbw "  Bei Nelson musst du immer drunter schreiben   " RdT  "  ( Rest durch Transfer )  Transfer ist ganz typisch der Schluss von Standard auf Allgemein:

     (V)  K  |   K  ist offen  ===>  (V)  k  |  k  ist offen     (  4  )

   (   4  ) schließt eine Beweislücke;  weil  das Prädikat  ( 2 ) ist ja im Nonstandardfall gar nicht anwendbar, wie wir gesehen haben.   Transfer über eine Formel  wie ( 2 )  ist erst mal unerlaubt,  weil hier Prädikate angesprochen werden wie  "  inf "    , die in der klassischen Vor-Nelson Analysis überhaupt keinen Sinn ergeben.

   b) stelle ich mir eher trivial vor.  Wähle X und Y ;  ihr Abstand ist Standard .  Dann beschreibe um X die inf Kugel mit Radius €  so wie um Y   mit Radius  µ  .

   Zu c)  ; früher habe ich ja Analysis, die  " Epsilontik  "  , in den siebten Kreis der Hölle verflucht.  Aber jetzt wo's den Nelson gibt,  macht sie mir auf einmal Freude;  und ich hab sogar Erfolgserlebnisse.

   Dazu kommt ein ungeheurer pädagogischer Effekt; Nelson erzieht dich nämlich dazu, einmal in dich zu gehen:  Was bedeutet das alles eigentlich, was ich da mache?  Was sind das;  " endlich viele Mengen "  ?

    Genau genommen handelt es sich nämlich um eine Folge oder Familie von Mengen.  Gehen wir aus   von einer endlichen Teilmenge  m_n  aus n Elementen von   |N so wie der ===>  Potenzmenge   2  ^  T   .   Dann gibt es eine Abbildung  f :  m_n ===>  2  ^ T  , die jedem Index  i  €  m_n   eine offene Menge o_i  €  2  ^ T  zuordnet. Warum so spitzfindig?

   " Eine Menge besteht ausschließlich aus Standardelementen genau dann, wenn sie Standard endlich ist. "

  Aha; wir sind auf dem besten Wege, dass wir nur Standardmengen definieren.  Eine Menge  M_N    enthält wie gesagt nur Standard   I   .  Wenn unsere Familie also nur  aus Standardmengen bestehen soll,   gibt es gar nicht " genug Vorrat " ...

   Jetzt folgen  zwei wesentliche Transferschritte.  Wenn es wie oben eine Abbildung f gibt von M_N  nach 2  ^  T  , dann auch ein ( Standard )  F   .  Und dann noch ein häufig gebrauchtes Lemma

     Y0  =  F  (  X0  )    ist Standard        (  5  )

    Mit diesen   etwas formalen Erwägungen sind schließlich sämtliche  O_I  Standardmengen;  Kriterium   ( 2 )  ist anwendbar.  Doch weil ich es unten noch brauche,  will  ich eine neue Relation einführen.

    x  (  =  )  y  :  P  (  x  ;  y  )  =  inf       (  6a  )

    In Worten:   Wenn der Abstand von x und y inf ist, wollen wir sagen,   x ist fast gleich y .  Dann liest sich Kriterium   ( 2 )  :  O ist offen genau dann wenn

      X  €  O  ;  y  (  =  )  X  ===>  y  €  O     (  6b  )

    Jetzt wird der Beweis trivial.   Voraussetzung:  X liegt im Durchschnitt, also in sämtlichen O_I  . Wenn y ( = ) X ,  liegt y in allen O_I  und damit im Durchschnitt; RdT .

   Hier möchte ich doch noch etwas bemerkt haben zum Tema Transfer. Was genau ist zu zeigen? Es gilt

      (V)  N  (V)  F  |  ^  F  (  i  )  offen      (  7a  )

    Dieses  Hütchen soll "  Schnittmenge  "  bedeuten.  Den Index i  habe ich bewusst klein geschrieben, weil es sich nicht um einen freien, sondern um einen gebundenen Parameter handelt.  Statt Durchschnitt über alle  i  könntest du genau so gut sagen: Durchschnitt über alle  j .

   Wo wollen wir hin?

     (V)  n  (V)  f  |  ^  f  (  i  )  offen          (  7b  )

     Für den Transfer von F nach   f spielt  N  die Rolle  eines zusätzlichen freien Parameters  ( ZFP  )    Hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung:  ZFP  müssen Standard sein -  ist erfüllt.

   Dagegen für den Schluss von N auf n ist f wieder gebunden; du könntest genau so sagen "  für alle g "

   Gerade  im Hinblick auf Unterpunkt d)  drängt sich nachgerade die Frage auf

   " Wenn doch der Beweis so einfach geht wie in ( 6b ) . Wo liegt denn dann der Denkfehler,  dass nicht auch der Durchschnitt aus über-über-über ...  abzählbar unendlich vielen offenen Mengen wieder offen ist? "

   Klar ist die Behauptung falsch;  aber jetzt sind wir richtig neugierig  auf den Denkfehler.

   Auch bei unendlichen Mengen gehst du aus von einer Mengenfamilie. In den Skripten  wird dann immer die  " Indexmenge "  bemüht.     Ich habe den Eindruck,  die Matematiker meiden ===>  Ordinalzahlen ( OZ )   ( im Internet wunderbar erklärt ) wie der Teufel das Weihwasser, obgleich ja der ===> Wohlordnungssatz ( WOS ) zum ===> Auswahlaxiom ( AA ) äquivalent ist.

   Also ich wurde  endgültig bekehrt durch eine Aussage in Wiki,  wonach die Möglichkeit,  die Mächtigkeiten zweier beliebigen Mengen zu vergleichen, eben Falls äquivalent ist zum  AA .

     max Zeichen

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      Für endliche Mengen sind ja Kardinalzahl ( KZ ) und OZ identisch; für unendliche sind sie es nicht.   Ja mehr noch; die OZ  einer unendlichen Menge ist nicht mehr eindeutig.

   Mir liegt vor:  Dirk Hoffmann;  " Grenzen der Matematik "  , Verlag Spektrum.  Dort erfahre ich völlig überraschend:  Wenn du dich einmal daran gewöhnt hast, an die OZ zu glauben,    dann sind  KZ  weiter nichts als besondere  OZ .

   Getreu dem Spruch, jede Menge hat ein kleinstes Element:   Hoffmann schreibt, unter allen möglichen OZ einer gegebenen Menge ist ihre KZ die kleinst mögliche OZ .  Wenn du dir vorstellst,   dass auf diesem Wege sämtliche KZ wohl geordnet werden, wird auch klar, wieso du dann auf einmal beliebige Mengen vergleichen kannst.

   Du brauchst dann  keine abstrakte  "  Indexmenge  " mehr, die beispielsweose Mächtigkeit Aleph_1 hat.  Sondern als Indexmenge nimmst du die  ZAHL Aleph_1  selbst.  Jede  OZ  enthält ja alle ihre Vorgänger als ihre Elemente.  Es war nur ein Vorschlag;  es ist nicht wesentlich für das Folgende.

   Sei R eine Standard OZ  ; genau wie oben   im Zusammenhang mit ( 1.5 )  betrachtest du eine Funktion F : R ===>  2 ^ T    , die jedem i € R eine offene Menge o_i zuordnet.   Und hier beginnt das Problem;  eines der fundamentalsten Teoreme der  NSA

     " Jede unendliche Menge enthält ein Nonstandard Element. "

   Zum ersten Mal seit Jahrtausenden hast du eine Charakterisierung des Unendlichen.

   " Warum beschränken wir unser Augenmerk nicht auf Standardmengen? "

    Weil die unendlich vielen Elemente den Ärger machen. Wie ich oben schon sagte; es gibt gar nicht " genug Standardmengen "  Und was diese Funktion F anlangt;   unter den unendlich vielen offenen Mengen gibt es auch Nonstandard o_i  . Und auf die ist Kriterium  ( 1.6b ) nicht anwendbar.   Aus  ( 1.6b  ) folgt zunächst nur

      (V)       y   €   F  (  I  )           (  2.1a  )

    I € R

    I < R

     Wer bis Jetzt  noch nicht verstanden hat, wozu Transfer gut ist:  Hier wird es deutlich. Wo wollen wir hin?

    (V)      y  €  F  (  i  )          (  2.1b  )

   i € R

 

     Und? Dürfen wir das?  Wir  haben zwei  ZFP  .  Die   Funktion  F   ist unproblematisch;  aber gerade in den intressanten, nicht trivialen Fällen ist  y Nonstandard.  Der Transfer von  ( 2.1a )  nach ( 2.1b ) ist verboten.

    Nun handelt es sich - wir sagten schon - um hinreichende , nicht notwendige Bedingungen.  Aber wir wissen ja schon, dass die Behauptung falsch ist.  Sollte sie in einem Sonderfall zutreffen, was ich jetzt nicht überblicke, muss es natürlich möglich sein,  Forderung  ( 2.1a  )     der Art zu präzisieren,   dass man erkennt:  Der Transfer ist erlaubt.

    Unterpunkt d;  wir werden jetzt vergleichen, was im abgeschlossenen Fall passiert.   Wir vermuten, dass die Bedingung für Abgeschlossen  dual  zu ( 1.6b ) ist.  Bisher war  X  gegeen und  y  gesucht;  jetzt ist  x  vorgegeben und Y  gesucht.

   Aber an der Stelle kommt eine Asymmetrie ins Spiel. Wenn Y existiert so dass     Y ( = )  x  , werden wir sagen  x ist fast  Standard und schreiben   Y  =:  x *    Y  heißt dann der Schatten von x .  Eine solche Notation ist natürlich nur dann Sinn voll, wenn dieser Begriff eindeutig ist. Und genau das werden wir jetzt beweisen.

        x  (  =  )  Y         (  2.2a  )

       x  (  =  )  Z         (  2.2b  ) 

     Und jetzt ein Wort in eigener Sache. Nicht nur ihr könnt Deutsch mit eurem ewigen  " Hochpunkt "  statt Maximum - ich kann es auch. Es heißt nicht  "  Äquivalenzrelation "  , sondern  Gleichheitsbeziehung  (  GB  )

    Es stellt sich eben heraus,  dass die  Relation  ( 1.6a )  eine (Pseudo)GB   ist; sie ist nicht nur reflexiv und symmetrisch, sondern auch transitiv.  Aus ( 2.2ab ) folgt

         Y  (  =  )  Z  ===>  P  (  Y  ;  Z  )  =  inf      (  2.3a  )

          Trivialer Transfer gibt aber

          P  (  Y  ;  Z  )  =  Standard       (  2.3b  )

          P  (  Y  ;  Z  )  =  Standard  inf  =  0      (  2.3c  )

     Y  =  Z   wzbw  .

    Kriterium für Abgeschlossen:  Sei  x  fast Standard .    Die Menge  A  ist abgeschlossen genau dann wenn

      x  €  A  ===>  x *  €  A       (  2.4  )

    Kann man so schließen?  x liegt im durchschnitt,  folglich liegt  x    in allenn F  ( i )  Dann müsste  x * auch in allen F ( i ) liegen, weil diese abgeschlossen sind, also auch in der Schnittmenge.

   Wir haben auch hier unendlich viele Mengen;  jede unendliche Menge besitzt ein Nonstandard Element.  Unsere unendliche Mengenfamilie F ( R )  besitzt ein Nonstandard F ( i ) ;  und auf Nonstandard Mengen trifft der Schluss nicht zu, wie das Gegenbeispiel zeigt

      j  :=  [  €  ;  3  €  ]   ;  €  >  0         (  2.5  )

     j  ist die ( abgeschlossene )  Kugel mit Mittelpunkt 2 € und Radius € .  Der Schatten ihrer Elemente ist Null, gehört ihr aber nicht an.

   Doch greifen wir auf die Idee mit dem Transfer  ( 2.1a )  zurück; vielleicht haben wir da mehr Glück.

      (V)     x *   €  F  (  I  )         (  2.6a  )

       I

     Auf den ersten Blick ist ( 2.6a )  ja noch verheerender als  ( 2.1a )  ; dem Nonstandard Parameter  y  aus  ( 2.1a  )  entspricht hier  x  .  Dazu kommt aber noch, dass hier eine  ( nichtklassische ) Nelsonnotation benutzt wird

  " Was bedeutet der Stern da hinter dem x? "

   Dieser Transfer ist quasi doppelt verboten.  Wir können aber vorüber gehend vergessen, was x * bedeutet, wenn wir in ( 2.6a )  ganz listig setzen  x *  =:  Y

      (V)    Y  €  F  (  I  )        (  2.6b  )
        I 

        

    Diesem Transfer steht jetzt nichts mehr im Wege;  klassische Aussage, und der zweite  ZFP   ist Standard. Und nach Erfolg reichem Transfer dürfen wir uns wieder erinnern, dass Y in Wirklichkeit x *  bedeutet ...

   Ich finde dies ist ein schönes Beispiel für meine Behauptung.  In den Beweisen der klassischen Analysis spielt es keine Rolle,  ob du dir unendlich viele Mengen beziehungslos nebeneinander vorstellst oder eben als Familie, verknüpft durch diese Funktion F .  Allenfalls einen einführenden Halbsatz wäre dieser Umstand dem Herrn Professor in der Vorlesung wert.

  Dagegen in der NSA  lauern überall die Fußangeln; du musst ständig in die Tiefe gehen,  was das, was du da sagst,  BEDEUTET .

   Doch noch eine abschließende Frage.  Ich habe doch die Freiheit, eine Funktion wie dieses F  für alle Elemente des Definitionsbereichs fest zu legen, wie ich will.    Wie kann es da sein,  dass unter den Bildmengen von F keine solche  "  Katastrofe  "   dabei ist wie dieses   ( 2.5 )  Was ist so besonders an Funktion  F ?

   Die Antwort ist nicht unähnlich der Funktionenteorie  ( FT )   Eine holomorphe Funktion ist bereits dann eindeutig auf |C  fest gelegt,  wenn du ihre Werte kennst auf einer konvergenten Punktfolge  -  mehr Freiheit hast du nicht.

   Genau so hier;  F ist eine Standardfunktion. So bald du die Bilder aller Standardelemente aus  ihrem Definitionsbereich fest gelegt hast, folgen die übrigen automatisch.    Und wenn eben alle Standard Bildmengen jenes selbe Y = x * enthalten, dann überträgt sich diese Eigenschaft auf alle übrigen  Nonstandard Bildmengen.

   Natürlich hast du die Freiheit, jedem Punkt der komplexen Ebene einen willkürlichen Bildpunkt zuzuordnen; eine solche Abbildung wäre allerdings  nicht mehr holomorph. Genau so hier;  natürlich gibt es Funktionen, die dir die freie Wahl lassen,    die Bilder auch von Nonstandard Elementen  nach Belieben zu wählen.  Nur sind solche Funktionen eben nicht mehr Standard.