Komplexe Zahlen (2 + i) + (−1 + i) sowie (1 + i) · (−1 + i) berechnen, gaußsche Zahlenebene, kartesische Form

Question

1. Berechnen Sie (2 + i) + (−1 + i) sowie (1 + i) · (−1 + i) . Fertigen Sie jeweils eine Skizze an und erläutern Sie diese Operationen geometrisch in der Gaußschen Zahlenebene.

2. Geben Sie für \( z = 2^{\frac{1}{2}} (\sqrt{3} + 1) \) und n = 2, 3, 4, 5, 6 ∈ ℕ die Zahlen \( z^n \) in kartesischer Form a + bi
an. Berechnen Sie dann jeweils \( |z^n| \) sowie \( |z|^n \). Fertigen Sie eine Skizze an.

3. Liegt die Zahl z = 3 + 2i ∈ ℂ als ein Element der Gaußschen Zahlenebene innerhalb der Kreisscheibe mit dem Radius r₀ = 2,5 ∈ R um den Mittelpunkt z₀ = 1 + i ∈ ℂ? Begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie die Differenz d = z − z₀ ∈ ℂ in Polarkoordinatenform (Euler-Form) darstellen. Brauchen Sie das Argument arg(d) ∈ ℝ zur Beantwortung der Frage?

Answer 1

1) \( (2 + i) + (-1+i) = 2-1 + i + i\ = 1 +2i\)

\((1+i) \cdot (-1+i) = 1\cdot (-1) + i\cdot i + 1 \cdot i + i \cdot (-1) = -1 + (-1) + i - i = -2\)

Die Beträge der beiden grünen komplexen Zahlen sind jeweils \(\sqrt{2}\). Das Ergebnis hat den Betrag \(2\). Und das Argument (der Winkel des roten Pfeils) des Ergebnisses ist die Summe aus den Winkeln der grünen Pfeile.

2) Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen geht wie in der Algebra gewohnt: $$(a+bi)(c+di) = ac-bd + (ad + bc)i$$ alles weitere sollte dann kein Problem sein.

3) \(d= z - z_0 = 3+2i - (1+i) = 2+i\) und \(|d| = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5} < 2,5 \) also liegt \(z\) innerhalb des Kreises um \(z_0\) mit dem Radius \(r=2,5\). Wie auch folgende Skizze zeigt:

Nein - das Argument (d.h. den Winkel den \(d\) gegenüber dem reellen annimmt) braucht man dafür nicht.

Answer 2

Berechnen Sie (2 + i) + (−1 + i) sowie (1 + i) · (−1 + i)

Dass ist zunächst schulübliche Algebra:

(2 + i) + (−1 + i) =2+i-1+i=1+2i

(1 + i) · (−1 + i) Jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer multipizieren. Dabei ist i·i=-1.