Steckbriefaufgabe. Suche Funktion 4. Grades, die zur 2. Achse symmetrisch ist und ...

Question

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur 2. Achse, hat T(2;4) als Tiefpunkt und schließt mit der Tangente durch t eine Fläche mit dem Inhalt 256/15 ein.
die Aufgabe an sich versteh ich, nur habe ich irgendwie laut meiner Lehrerin das falsche Ergebnis. Nun weiß ich nicht, woran es liegt. Wäre nett Lösungsvorschläge zu liefern:) danke.

Answer 1

der graph einer ganzrationalen funktion 4. grades ist symmetrisch zur 2. achse,

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

hat t(2;4) als tiefpunkt

f(2) = 4
16·a + 4·b + c = 4

f'(2) = 0
32·a + 4·b = 0

und schliesst mit der tangente durch t eine flaeche mit dem inhalt 256/15 ein.

F(2) = 128/15
a/5·x^5 + b/3·x^3 + c·x = 128/15
32·a/5 + 8·b/3 + 2·c = 128/15
48·a + 20·b + 15·c = 64

Das LGS hat die Lösung a = 1/32 ∧ b = - 1/4 ∧ c = 9/2

f(x) = 1/32·x^4 - 1/4·x^2 + 9/2

Skizze:

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur 2. Achse, hat \(T(2|4)\) als Tiefpunkt und schließt mit der Tangente durch T eine Fläche mit dem Inhalt \( \frac{256}{15} \) ein.
Ich verschiebe den Graph um 4 Einheiten nach unten:
\(T_1(2|4)\)→\(T_1´(2|0)\)
Wegen der Symmetrie zur y-Achse: \(T_2(-2|4)\)→\(T_2´(-2|0)\)
\(f(x)=a*(x+2)^2*(x-2)^2=a*(x^4-8x^2+16)\)

\( \frac{128}{15a}=\int\limits_{0}^{2}(x^4-8x^2+16)dx=[\frac{x^5}{5}-\frac{8}{3}x^3+16x]_0^2=[\frac{2^5}{5}-\frac{8}{3}*2^3+16*2]-0 =\frac{256}{15}\)

\( \frac{128}{15a}=\frac{256}{15}\)

\( a=\frac{1}{2}\)

\(f(x)=\frac{1}{2}*(x^4-8x^2+16)\)

4 Einheiten nach oben:

\(p(x)=\frac{1}{2}*(x^4-8x^2+16)+4\)