Metrik Beweis Aufgabe

Question

Hallöle:)

Metrik ist leider nicht mein Fachgebiet, daher brauche ich eure Hilfe. Die Aufgabe lautet:

Sei X ein metrischer Raum. Beweisen Sie: Eine Folge (x_n) konvergiert genau dann gegen den
Punkt x ∈ X , wenn es zu jeder offenen Teilmenge U von X , welche x enthält, eine natürliche Zahl n₀
gibt, so dass x_n ∈ U fur alle n ≥ n₀.

Wäre wirklich super, wenn ihr das ausführlich erklären könntet, da mir das Thema wie schon erwähnt Schwierigkeiten bereitet.

Comments

Dazu müsstest du mal eure Definition von

"Eine Folge (xn) konvergiert gegen den Punkt x ∈ X."

angeben.

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http://www.mathepedia.de/Folgen_und_Konvergenz.html

Answer 1

Hallo

 schreib U(x) hin! z.B $$U_n(x):{x  \in U}, d(x-x_n)<\epsilon_n$$

jetzt noch dei Def von Konvergenz.

nimm für deine Vorstellung erst mal als metrischen Raum r mit d(x,y)=|x-y|

 eine offene Umgebung von x ist zB das offene Intervall (x-r,x+r) r>0

Anfangs hilft es sich beim Beweis auf dir bekannte einfache metrische Räume zurückzugreifen und dann zu verallgemeinern.

Gruß lul