Metrischer Raum Aufgabe

Question

Hallo :)

Ich bin noch nicht so sehr vertraut mit metrischen Räumen, trotz dessen befindet sich eine Aufgabe auf meinem Übungsblatt bei der ich Hilfe brauche. Die Aufgabe lautet:

Sei X ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass sowohl die leere Menge als auch X offene und
abgeschlossene Teilmengen von X sind.

Wenn möglich einen Beweis hier kommentieren.

Answer 1

Wenn X ein metrischer Raum ist, dann gibt es eben auf X eine Metrik d.

Diese ist eine Abbildung von X x X  nach ℝ, welche gewisse Axiome erfüllt,

siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Raum#Formale_Definition.

Und eine offene Menge ist so definiert:

https://de.wikipedia.org/wiki/Offene_Menge#Definition_2

Um zu zeigen, dass ∅ offen ist, musst du also überprüfen, ob gilt:

Für jedes x∈∅ gibt es ....

Das ist sicher wahr, denn für jedes x∈∅ gilt ja jede Aussage, weil es

kein x∈∅ gibt.   Also ist ∅ offen und damit ist X \  ∅ abgeschlossen, also

X abgeschlossen.

Bleibt zu zeigen:  X ist offen  (Damit ist dann ja auch ∅ = X \ X abgeschlossen.)

Also:

Für alle x ∈ X gibt es ein ε > 0 so dass für alle y ∈ X gilt:

d(x,y) < ε    ⇒    y ∈ X.

Auch das ist wahr; denn  y ∈ X gilt halt für  y ∈ X.