Direkter Beweis zur Teilbarkeit. Zeige: n + 1 ist ungerade ⇒ (n · (n + 1) · (n + 2)) ist ganzzahlig durch 24 teilbar.

Question

Wie beweise folgende Aufgaben mit direkte Beweis.

a) 1/n - 1/(n + 1) < 1/n²

b) n + 1 ist ungerade ⇒ (n · (n + 1) · (n + 2)) ist ganzzahlig durch 24 teilbar.

Answer 1

1/n - 1/(n + 1)

= ((n+1) - n ) / ( n*(n+1))

= 1 / ( n^2 + n )

< 1/n^2

weil n^2 + n > n^2 .

Answer 2

n + 1 ist ungerade ⇒ (n · (n + 1) · (n + 2)) ist ganzzahlig durch 24 teilbar.

24 = 2^3*3

wenn n + 1 ungerade ist, dann ist n gerade und lässt sich schreiben als 2a

2a · (2a + 1) · (2a + 2)

Einer von 3 aufeinanderfolgender Faktoren ist mit Sicherheit durch 3 teilbar.

Da der Mittlere Faktor ungerade war ist vom ersten und letzten einer durch 2 und der andere durch 4 teilbar.

Damit ist der Term durch 24 teilbar.