Richtungsableitung, Vektor finden

Question

Für jede (x,y) ∈ℝ² und folgende f:ℝ² →ℝ, finden sie einen normalisierten Vektor v ∈ℝ² (d.h. ||v||=1), sodass δ_vf(x,y)=0, wobei δ_v die Richtungsableitung ist. Gibt es mehr als einen solchen v?

a.) f(x,y) :=3x+6y

b.) f(x,y) :=cos(x+y)

meine Idee:

Weiß nich so recht wie ich das machen soll.

a.) Also die Richtungsableitung ist 0.

$$ fv(x,y)=\frac { \nabla f(x,y)\quad \vec { v }  }{ |\vec { v } | } =0 $$

So ich kenn aber den Vektor nicht, und diese Gleichung hat keine Lösung.

Answer 1

Hallo Kathreena,

a)  f(x,y) = 3x+6y

du suchst einen Vektor v =  [ v₁ , v₂ ]  mit

[ 3 , 6 ] · [ v1 , v2 ]  = 0    und   | [ v1 , v2 ] |  =  √(v₁² + v₂² ) = 1

3v₁ + 6v₂ = 0  →  v₁ = -2 v₂

√(v₁² + v₂² )  =  √( (-2v₂)² + v₂² )  =  √( 5v₂² )  =  |v₂| · √5  = 1

→  v₂  = ± 1/√5  

v = [ -2/√5 , 1/√5 ]     oder  v = [ 2/√5 , -1/√5 ]

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bei b) erhalte ich    v = [ -1/√2 , 1/√2 ]    oder  v = [ 1/√2 , -1/√2 ]

Du kannst beim Gradienten  - sin(x+y) ausklammern, dann fällt das in der ersten Gleichung einfach weg.

Gruß Wolfgang