Wie bestimme ich das Krümmungsverhalten einer Funktion die keine Extrema besitzt?

Question

Ich muss das Krümmungsverhalten der Funktion

f(x) = x^3 + 3x + 2 bestimmen.

Normal sehr einfach, nur blöd das ich hier keine Extrema habe an dem ich mich mit f‘‘(x) orientieren kann. Mit f‘(x) oder Monotonie komme ich auch nicht weiter. Die Funktion steigt ja. Ich habe nur einen Wendepunkt mehr nicht. Ist es jetzt Zeit für f‘‘‘(x) ?

Wie bestimme ich das Krümmungsverhalten?

Answer 1

f ( x ) = x^3 + 3*x + 2
1.Ableitung : Funktion der Steigung
f ´ ( x ) = 3 * x^2 + 3
Stelle mit waagerechter Tangente
3 * x^2 + 3 = 0
keine vorhanden
Monotonie steigend :
f ´( x ) > 0
3 * x^2 + 3 > 0 : stets
Die Funktion ist stets steigend

2.Ableitung : Krümmung
f ´´( x ) = 6x
Krümmung null : Wendepunkt
6x = 0
x = 0
In Kurvenrichtung nach rechts gekrümmt
f  ´´ ( x ) < 0
6x < 0
x < 0

Linkskrümmung
x > 0

siehe Skizze

Warum funktioniert denn das punktieren mit
Werte nicht?
Was ist punktieren ? Was meinst du ?

Comments

Das war mein Fehler. Es hatte doch funktioniert.

f‘‘(1) = 6 > 0 => LK

f‘‘(-1) = -6 < 0 => RK

Dann hat es gepasst.

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Richtig. Fülltext.

Answer 2

f(x) = x^3 + 3·x + 2

f''(x) = 6·x

f''(x) > 0 und damit linksgekrümmt (konvex) für alle x > 0

f''(x) < 0 und damit rechtsgekrümmt (konkav) für alle x < 0

Comments

Warum funktioniert denn das punktieren mit Werte nicht?

f‘‘(-1) = -6< 0

f‘‘(1) = 6 > 0

Gilt dies dann nur für Extrema?

Danke

Answer 3

Man kann hier auch über die ohnehin bekannten Eigenschaften ganzrationaler Funktionen dritten Grades argumentieren:

Die vorgelegte ganzrationale Funktion dritten Grades mit positivem Leitkoeffizienten weist genau an ihrer einzigen und immer vorhandenen Wendestelle einen Rechts-/Links-Krümmungswechsel auf.

Dies lässt sich zwar leicht allgemein zeigen, ist aber bereits eines der Ergebnisse des ersten Jahres der Oberstufenmathematik. Es genügt also, die Wendestelle zu bestimmen, um von dort auf die Krümmungsintervalle zu schließen. Alles andere ist aufwändiger als nötig und ersetzt mathematische Argumentation durch irgendwelches Herumgerechne.